Ecuații & Inecuații logaritmice

1) Ecuații logaritmice \(\log_a(\cdot)\)

Primul pas mereu: impui condițiile de existență: argumentele logaritmilor trebuie să fie pozitive.

1) Același logaritm ⇒ argumente egale

\[ \log_2(x-1)=\log_2(5) \Rightarrow x-1=5 \Rightarrow x=6 \] Condiție: \(x-1>0\Rightarrow x>1\) (ok).

2) Transformare în exponențială

\[ \log_3 x = 4 \Rightarrow x=3^4=81 \] Condiție: \(x>0\) (ok).

3) Folosești proprietăți (produs/raport)

\[ \log_2(x)+\log_2(x-1)=3 \] Condiții: \(x>0,\ x-1>0\Rightarrow x>1\).
\[ \log_2(x(x-1))=3 \Rightarrow x(x-1)=2^3=8 \] \[ x^2-x-8=0 \Rightarrow x=\frac{1\pm \sqrt{33}}{2} \] Din \(x>1\) rămâne \(x=\frac{1+\sqrt{33}}{2}\).

4) Substituție (tip \(\log_a x=t\))

Dacă apare \(\log_a x\) de mai multe ori, notezi: \[ t=\log_a x \Rightarrow x=a^t \] și reduci problema la o ecuație în \(t\).

2) Inecuații logaritmice \(\log_a(\cdot)\ \gtrless\ \log_a(\cdot)\)

Regula de aur: monotonia depinde de baza \(a\).
  • dacă \(a>1\), sensul se păstrează
  • dacă \(0<a<1\), sensul se inversează
Și nu uita condițiile: argumentele logaritmilor trebuie să fie pozitive.

Caz \(a>1\) (sens păstrat)

\[ \log_2(x-1) \ge \log_2(3) \Rightarrow x-1 \ge 3 \Rightarrow x \ge 4 \] Condiție: \(x-1>0 \Rightarrow x>1\) (ok).

Caz \(0<a<1\) (sens invers)

\[ \log_{\frac12}(x) \ge \log_{\frac12}(4) \Rightarrow x \le 4 \] Condiție: \(x>0\). Soluție: \((0,4]\).
Atenție: dacă ai \(\log_a(f(x)) \ge c\), poți trece în exponențial: \[ \log_a(f(x)) \ge c \Longleftrightarrow \begin{cases} f(x) \ge a^c, & a>1\\ f(x) \le a^c, & 0<a<1 \end{cases} \] plus condiția \(f(x)>0\).

Înapoi Următor