Expresii cu rapoarte

Un raport reprezintă o relație între două numere sau mărimi care indică de câte ori primul număr este mai mare sau mai mic decât cel de-al doilea. Rapoartele sunt utile pentru a compara proporții și a rezolva probleme în care relația dintre mărimi este specificată.

Formulele și pașii de rezolvare

Identificarea raportului: Fiecare raport este dat sub forma \(\frac{a}{b} = k\), unde \(k\) este o valoare constantă. Aceasta indică faptul că \(a = k \cdot b\).
Înlocuirea raportului în expresie: Dacă trebuie să determinăm o expresie precum \(\frac{2a - b}{3b}\), folosim relația \(a = k \cdot b\) pentru a exprima totul în funcție de \(b\).
Reducerea expresiei: După înlocuire, simplificăm expresia. De multe ori, valorile necunoscute se reduc, iar rezultatul final depinde de valoarea raportului \(k\).
Verificarea: Este util să verificați dacă răspunsul final are sens în contextul problemei.

Exerciții

Dacă \( \displaystyle \frac{a}{b} = 4 \), atunci valoarea expresiei \( \displaystyle \frac{3a - 2b}{a + b} \) este \( \boxed{\phantom{a}} \).

Dacă \( \displaystyle \frac{m}{n} = \frac{5}{2} \), atunci valoarea expresiei \( \displaystyle \frac{4m + 3n}{2m - n} \) este \( \boxed{\phantom{a}} \).

Dacă \( \displaystyle \frac{x}{y} = 3 \), atunci valoarea expresiei \( \displaystyle \frac{5x - y}{x + 2y} \) este \( \boxed{\phantom{a}} \).

Dacă \( \displaystyle \frac{p}{q} = \frac{7}{4} \), atunci valoarea expresiei \( \displaystyle \frac{2p + 3q}{p - q} \) este \( \boxed{\phantom{a}} \).

Dacă \( \displaystyle \frac{m}{n} = 5 \), atunci valoarea expresiei \( \displaystyle \frac{m + 4n}{2m - 3n} \) este \( \boxed{\phantom{a}} \).

Dacă \( \displaystyle \frac{c}{d} = \frac{8}{5} \), atunci valoarea expresiei \( \displaystyle \frac{3c - d}{c + 4d} \) este \( \boxed{\phantom{a}} \).

Dacă \( \displaystyle \frac{x}{y} = \frac{7}{3} \), atunci valoarea expresiei \( \displaystyle \frac{4x + y}{x - 2y} \) este \( \boxed{\phantom{a}} \).

Dacă \( \displaystyle \frac{m}{n} = 6 \), atunci valoarea expresiei \( \displaystyle \frac{m - 5n}{2m + 3n} \) este \( \boxed{\phantom{a}} \).

Dacă \( \displaystyle \frac{r}{s} = \frac{11}{4} \), atunci valoarea expresiei \( \displaystyle \frac{5r - 3s}{r + s} \) este \( \boxed{\phantom{a}} \).

Răspunsuri

1/15

Rezolvări

Dat fiind raportul \( \displaystyle \frac{a}{b} = 4 \), înseamnă că \( a = 4b \).

Înlocuim \( a = 4b \) în expresie:
\[ \displaystyle \frac{3a - 2b}{a + b} = \frac{3(4b) - 2b}{4b + b} = \frac{12b - 2b}{5b} = \frac{10b}{5b} \]

Simplificăm:
\[ \frac{10b}{5b} = \frac{10}{5} = 2 \]

Răspuns: \( 2 \)

Din raportul \( \displaystyle \frac{m}{n} = \frac{5}{2} \) rezultă că \( m = \frac{5}{2} n \).

Înlocuim în expresie:
\[ \displaystyle \frac{4m + 3n}{2m - n} = \frac{4 \left( \frac{5}{2} n \right) + 3n}{2 \left( \frac{5}{2} n \right) - n} = \frac{10n + 3n}{5n - n} = \frac{13n}{4n} \]

Simplificăm:
\[ \frac{13n}{4n} = \frac{13}{4} \]

Răspuns: \( \displaystyle \frac{13}{4} \)

Din raportul \( \displaystyle \frac{x}{y} = 3 \) rezultă că \( x = 3y \).

Înlocuim în expresie:
\[ \displaystyle \frac{5x - y}{x + 2y} = \frac{5(3y) - y}{3y + 2y} = \frac{15y - y}{5y} = \frac{14y}{5y} \]

Simplificăm:
\[ \frac{14y}{5y} = \frac{14}{5} \]

Răspuns: \( \displaystyle \frac{14}{5} \)

Din raportul \( \displaystyle \frac{p}{q} = \frac{7}{4} \) rezultă că \( p = \frac{7}{4} q \).

Înlocuim în expresie:
\[ \displaystyle \frac{2p + 3q}{p - q} = \frac{2 \left( \frac{7}{4} q \right) + 3q}{\frac{7}{4} q - q} = \frac{\frac{14}{4} q + 3q}{\frac{7}{4} q - \frac{4}{4} q} = \frac{\frac{14}{4} q + \frac{12}{4} q}{\frac{3}{4} q} = \frac{\frac{26}{4} q}{\frac{3}{4} q} \]

Simplificăm:
\[ \frac{26/4}{3/4} = \frac{26}{4} \cdot \frac{4}{3} = \frac{26}{3} \]

Răspuns: \( \displaystyle \frac{26}{3} \)

Din raportul \( \displaystyle \frac{m}{n} = 5 \) rezultă că \( m = 5n \).

Înlocuim în expresie:
\[ \displaystyle \frac{m + 4n}{2m - 3n} = \frac{5n + 4n}{2(5n) - 3n} = \frac{9n}{10n - 3n} = \frac{9n}{7n} \]

Simplificăm:
\[ \frac{9n}{7n} = \frac{9}{7} \]

Răspuns: \( \displaystyle \frac{9}{7} \)

Din raportul \( \displaystyle \frac{c}{d} = \frac{8}{5} \) rezultă că \( c = \frac{8}{5} d \).

Înlocuim în expresie:
\[ \displaystyle \frac{3c - d}{c + 4d} = \frac{3 \left( \frac{8}{5} d \right) - d}{\frac{8}{5} d + 4d} = \frac{\frac{24}{5} d - d}{\frac{8}{5} d + \frac{20}{5} d} = \frac{\frac{24}{5} d - \frac{5}{5} d}{\frac{28}{5} d} = \frac{\frac{19}{5} d}{\frac{28}{5} d} \]

Simplificăm:
\[ \frac{19/5}{28/5} = \frac{19}{28} \]

Răspuns: \( \displaystyle \frac{19}{28} \)

Din raportul \( \displaystyle \frac{x}{y} = \frac{7}{3} \) rezultă că \( x = \frac{7}{3} y \).

Înlocuim în expresie:
\[ \displaystyle \frac{4x + y}{x - 2y} = \frac{4 \left( \frac{7}{3} y \right) + y}{\frac{7}{3} y - 2y} = \frac{\frac{28}{3} y + y}{\frac{7}{3} y - \frac{6}{3} y} = \frac{\frac{28}{3} y + \frac{3}{3} y}{\frac{1}{3} y} = \frac{\frac{31}{3} y}{\frac{1}{3} y} \]

Simplificăm:
\[ \frac{31/3}{1/3} = 31 \]

Răspuns: \( 31 \)

Din raportul \( \displaystyle \frac{m}{n} = 6 \) rezultă că \( m = 6n \).

Înlocuim în expresie:
\[ \displaystyle \frac{m - 5n}{2m + 3n} = \frac{6n - 5n}{2(6n) + 3n} = \frac{n}{12n + 3n} = \frac{n}{15n} \]

Simplificăm:
\[ \frac{n}{15n} = \frac{1}{15} \]

Răspuns: \( \displaystyle \frac{1}{15} \)

Din raportul \( \displaystyle \frac{r}{s} = \frac{11}{4} \) rezultă că \( r = \frac{11}{4} s \).

Înlocuim în expresie:
\[ \displaystyle \frac{5r - 3s}{r + s} = \frac{5 \left( \frac{11}{4} s \right) - 3s}{\frac{11}{4} s + s} = \frac{\frac{55}{4} s - 3s}{\frac{11}{4} s + \frac{4}{4} s} = \frac{\frac{55}{4} s - \frac{12}{4} s}{\frac{15}{4} s} = \frac{\frac{43}{4} s}{\frac{15}{4} s} \]

Simplificăm:
\[ \frac{43/4}{15/4} = \frac{43}{15} \]

Răspuns: \( \displaystyle \frac{43}{15} \)

Cuprins

Explicație
Exerciții