O ecuație de gradul 2 are forma generală: \( \displaystyle ax^2 + bx + c = 0 \), unde \( \displaystyle a, b, c \in \mathbb{R}, \; a \neq 0 \).

Metoda de rezolvare prin discriminant (delta)

Formula discriminantului este:

\( \displaystyle \Delta = b^2 - 4ac \)

Cazurile în funcție de \( \displaystyle \Delta \):

1. Dacă \( \displaystyle \Delta > 0 \): Ecuația are două soluții distincte: \[ x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}, \quad x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} \]
2. Dacă \( \displaystyle \Delta = 0 \): Ecuația are o singură soluție: \[ x = \frac{-b}{2a} \]
3. Dacă \( \displaystyle \Delta < 0 \): Ecuația nu are soluții reale, iar soluția este mulțimea vidă: \[ S = \varnothing \]

Exemplu Rezolvat

Rezolvați ecuația \( \displaystyle 3x^2 - 7x + 4 = 0 \):

1. Identificăm coeficienții: \( \displaystyle a = 3, b = -7, c = 4 \).
2. Calculăm \( \displaystyle \Delta \): \[ \Delta = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 4 = 49 - 48 = 1 \]
3. Deoarece \( \displaystyle \Delta > 0 \), avem două soluții distincte: \[ x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-(-7) - \sqrt{1}}{2 \cdot 3} = \frac{7 - 1}{6} = 1 \] \[ x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-(-7) + \sqrt{1}}{2 \cdot 3} = \frac{7 + 1}{6} = \frac{4}{3} \]
4. Soluția finală este: \[ S = \{1, \frac{4}{3}\} \]

Ecuația de Gradul 2 Incompletă

Fără termenul constant \( \displaystyle c \):

Forma ecuației: \( \displaystyle ax^2 + bx = 0 \).

Se rezolvă prin factorizare:

\( \displaystyle x(ax + b) = 0 \implies x = 0 \text{ sau } x = -\frac{b}{a} \).

Fără termenii \( \displaystyle bx \) și \( \displaystyle c \):

Forma ecuației: \( \displaystyle ax^2 = 0 \).

Soluția este: \( \displaystyle x = 0 \).

Exemplu Rezolvat (Forma incompletă fără \( \displaystyle c \))

Rezolvați ecuația \( \displaystyle x^2 - 4x = 0 \):

1. Factorizăm ecuația: \[ x(x - 4) = 0 \]
2. Rezolvăm: \[ x = 0 \text{ sau } x = 4 \]
3. Soluția finală este: \[ S = \{0, 4\} \]

Exemplu Rezolvat (Forma incompletă fără \( \displaystyle bx \))

O ecuație incompletă de gradul al doilea fără termenul \( \displaystyle bx \) are forma:

\( \displaystyle a x^2 + c = 0, \; a \neq 0 \)

Metoda de rezolvare:

1. Se izolează \( \displaystyle x^2 \): \[ a x^2 = -c \] \[ x^2 = -\frac{c}{a} \]
2. Cazurile în funcție de semnul lui \( \displaystyle -\frac{c}{a} \):
   • Dacă \( \displaystyle -\frac{c}{a} > 0 \), ecuația are două soluții reale distincte: \[ x_1 = -\sqrt{-\frac{c}{a}}, \quad x_2 = \sqrt{-\frac{c}{a}} \]
   • Dacă \( \displaystyle -\frac{c}{a} = 0 \), ecuația are o singură soluție: \[ x = 0 \]
   • Dacă \( \displaystyle -\frac{c}{a} < 0 \), ecuația nu are soluții reale, deoarece \( \displaystyle x^2 \) nu poate fi negativ.

Exemplu rezolvat

Rezolvați ecuația:

\[ 2x^2 - 8 = 0 \]

1. Identificăm coeficienții: \[ a = 2, \; c = -8 \]
2. Rescriem ecuația în forma: \[ 2x^2 = 8 \] \[ x^2 = \frac{8}{2} = 4 \]
3. Rezolvăm: \[ x_1 = -\sqrt{4} = -2, \quad x_2 = \sqrt{4} = 2 \]
4. Soluția finală este: \[ S = \{-2, 2\} \]

Exerciții