Operatii cu rapoarte algebrice

Pașii pentru efectuarea operațiilor cu rapoarte algebrice:

Se determină domeniul de definiție al expresiei (DVA), dacă acesta nu este specificat în condiție.
Numitorul fiecărei fracții se descompune în factori, dacă este posibil.
La adunarea sau scăderea rapoartelor:
- Fracțiile se amplifică pentru a avea același numitor comun.
- Fracțiile se pun sub aceeași linie de fracție.
La înmulțire sau împărțire:
- Se aplică regulile de înmulțire (\(\displaystyle \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}\)) sau împărțire (\(\displaystyle \frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c}\)).
Se descompun numărătorii și numitorii în factori, dacă este posibil.
Se simplifică expresia rezultată, eliminând factorii comuni din numărător și numitor.

Exemple:

1. Adunare:

\[ \displaystyle \frac{X}{X+2} + \frac{2}{X+3} \]

Pasul 1: Determinăm \(DVA: X \neq -2, X \neq -3\).

Pasul 2: Amplificăm fracțiile pentru a avea același numitor comun:

\[ \displaystyle \frac{X(X+3)}{(X+2)(X+3)} + \frac{2(X+2)}{(X+2)(X+3)} \]

Pasul 3: Punem sub aceeași fracție:

\[ \displaystyle \frac{X(X+3) + 2(X+2)}{(X+2)(X+3)} \]

Pasul 4: Descompunem și simplificăm dacă este posibil.

2. Scădere:

\[ \displaystyle \frac{X^2}{X-1} - \frac{2}{X-1} \]

Pasul 1: Determinăm \(DVA: X \neq 1\).

Pasul 2: Avem deja numitor comun:

\[ \displaystyle \frac{X^2 - 2}{X-1} \]

Pasul 3: Descompunem numărătorul (dacă este posibil) și simplificăm.

3. Înmulțire:

\[ \displaystyle \frac{X+3}{X-2} \cdot \frac{X-2}{X+1} \]

Pasul 1: Determinăm \(DVA: X \neq -1, X \neq 2\).

Pasul 2: Înmulțim direct:

\[ \displaystyle \frac{(X+3)(X-2)}{(X-2)(X+1)} \]

Pasul 3: Simplificăm:

\[ \displaystyle \frac{X+3}{X+1} \]

4. Împărțire:

\[ \displaystyle \frac{X}{X+2} : \frac{X+3}{X-1} \]

Pasul 1: Determinăm \(DVA: X \neq -2, X \neq -3, X \neq 1\).

Pasul 2: Transformăm împărțirea în înmulțire cu inversul:

\[ \displaystyle \frac{X}{X+2} \cdot \frac{X-1}{X+3} \]

Pasul 3: Înmulțim și simplificăm dacă este posibil.

Rezultatul final:

\[ \displaystyle \frac{X(X-1)}{(X+2)(X+3)} \]

Exerciții

Calculați: \( \displaystyle \frac{3}{x+1} + \frac{2}{x-1} \)

Calculați: \( \displaystyle \frac{x}{x-3} - \frac{3}{x+3} \)

Calculați: \( \displaystyle \frac{x+2}{x^2-4} \cdot \frac{x-2}{x+1} \)

Calculați: \( \displaystyle \frac{x^2-1}{x+3} : \frac{x-1}{x+3} \)

Calculați: \( \displaystyle \frac{2}{x+2} + \frac{x}{x^2+4x+4} \)

Calculați: \( \displaystyle \frac{x+1}{x-2} - \frac{x-1}{x+2} \)

Calculați: \( \displaystyle \frac{x^2-9}{x+1} \cdot \frac{x^2+3x+2}{x^2-x-6} \)

Calculați: \( \displaystyle \frac{x}{x+4} : \frac{x^2}{x^2-16} \)

Calculați: \( \displaystyle \frac{1}{x-1} + \frac{2}{x+1} - \frac{3}{x^2-1} \)

Calculați: \( \displaystyle \frac{x^2+5x+6}{x^2-4} \cdot \frac{x-2}{x+3} \)

Răspunsuri

\( \displaystyle \frac{5x+1}{(x+1)(x-1)} \)

\( \displaystyle \frac{x^2+3}{(x-3)(x+3)} \)

\( \displaystyle \frac{1}{x+1} \)

\( x + 1 \)

\( \displaystyle \frac{x+4}{(x+2)^2} \)

\( \displaystyle \frac{6x}{(x-2)(x+2)} \)

\( x + 3 \)

\( \displaystyle \frac{x-4}{x} \)

\( \displaystyle \frac{3}{x+1} \)

\( 1 \)

Rezolvări

DVA: \( x \neq \pm 1 \)

Amplificăm la numitor comun \( (x+1)(x-1) \):

\( \displaystyle\frac{3(x-1)}{(x+1)(x-1)} + \frac{2(x+1)}{(x+1)(x-1)} = \frac{3x-3+2x+2}{(x+1)(x-1)} = \frac{5x-1}{(x+1)(x-1)} \)

DVA: \( x \neq \pm 3 \)

Amplificăm la numitor comun \( (x-3)(x+3) \):

\( \displaystyle\frac{x(x+3)}{(x-3)(x+3)} - \frac{3(x-3)}{(x-3)(x+3)} = \frac{x^2+3x-3x+9}{(x-3)(x+3)} = \frac{x^2+9}{(x-3)(x+3)} \)

DVA: \( x \neq \pm 2, x \neq -1 \)

Descompunem numitorul primei fracții: \( x^2-4 = (x-2)(x+2) \)

\( \displaystyle\frac{(x+2)}{(x-2)(x+2)} \cdot \frac{(x-2)}{(x+1)} = \frac{(x+2)(x-2)}{(x-2)(x+2)(x+1)} = \frac{1}{x+1} \)

DVA: \( x \neq -3, x \neq 1 \)

Transformăm împărțirea în înmulțire:

\( \displaystyle\frac{x^2-1}{x+3} \cdot \frac{x+3}{x-1} = \frac{(x-1)(x+1)}{x+3} \cdot \frac{x+3}{x-1} = x+1 \)

DVA: \( x \neq -2 \)

Descompunem: \( x^2+4x+4 = (x+2)^2 \)

Numitor comun: \( (x+2)^2 \)

\( \displaystyle\frac{2(x+2)}{(x+2)^2} + \frac{x}{(x+2)^2} = \frac{2x+4+x}{(x+2)^2} = \frac{3x+4}{(x+2)^2} \)

DVA: \( x \neq \pm 2 \)

Numitor comun: \( (x-2)(x+2) \)

\( \displaystyle\frac{(x+1)(x+2) - (x-1)(x-2)}{(x-2)(x+2)} \)

Numărătorul: \( (x^2+3x+2) - (x^2-3x+2) = 6x \)

\( = \displaystyle\frac{6x}{(x-2)(x+2)} \)

DVA: \( x \neq -1, x \neq -2, x \neq 3 \)

Descompunem: \( x^2-9=(x-3)(x+3) \), \( x^2+3x+2=(x+1)(x+2) \), \( x^2-x-6=(x-3)(x+2) \)

\( \displaystyle\frac{(x-3)(x+3)}{(x+1)} \cdot \frac{(x+1)(x+2)}{(x-3)(x+2)} = \frac{(x-3)(x+3)(x+1)(x+2)}{(x+1)(x-3)(x+2)} = x+3 \)

DVA: \( x \neq \pm 4, x \neq 0 \)

Transformăm împărțirea:

\( \displaystyle\frac{x}{x+4} \cdot \frac{x^2-16}{x^2} = \frac{x}{x+4} \cdot \frac{(x-4)(x+4)}{x^2} \)

\( = \displaystyle\frac{x(x-4)(x+4)}{x^2(x+4)} = \frac{x-4}{x} \)

DVA: \( x \neq \pm 1 \)

Descompunem: \( x^2-1=(x-1)(x+1) \). Numitor comun: \( (x-1)(x+1) \)

\( \displaystyle\frac{x+1+2(x-1)-3}{(x-1)(x+1)} = \frac{x+1+2x-2-3}{(x-1)(x+1)} = \frac{3x-4}{(x-1)(x+1)} \)

Verificăm: \( 3x-4 = 3(x-1) - 1 \). Nu se mai simplifică.

\( \displaystyle\frac{3x-4}{(x-1)(x+1)} \)

DVA: \( x \neq \pm 2, x \neq -3 \)

Descompunem: \( x^2+5x+6=(x+2)(x+3) \), \( x^2-4=(x-2)(x+2) \)

\( \displaystyle\frac{(x+2)(x+3)}{(x-2)(x+2)} \cdot \frac{(x-2)}{(x+3)} = \frac{(x+2)(x+3)(x-2)}{(x-2)(x+2)(x+3)} = 1 \)

Cuprins

Explicație
Exerciții