Operatii cu rapoarte algebrice

Pașii pentru efectuarea operațiilor cu rapoarte algebrice:

Se determină domeniul de definiție al expresiei (DVA), dacă acesta nu este specificat în condiție.
Numitorul fiecărei fracții se descompune în factori, dacă este posibil.
La adunarea sau scăderea rapoartelor:
- Fracțiile se amplifică pentru a avea același numitor comun.
- Fracțiile se pun sub aceeași linie de fracție.
La înmulțire sau împărțire:
- Se aplică regulile de înmulțire (\(\displaystyle \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}\)) sau împărțire (\(\displaystyle \frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c}\)).
Se descompun numărătorii și numitorii în factori, dacă este posibil.
Se simplifică expresia rezultată, eliminând factorii comuni din numărător și numitor.

\[ \displaystyle \frac{X}{X+2} + \frac{2}{X+3} \]

Pasul 1: Determinăm \(DVA: X \neq -2, X \neq -3\).

Pasul 2: Amplificăm fracțiile pentru a avea același numitor comun:

\[ \displaystyle \frac{X(X+3)}{(X+2)(X+3)} + \frac{2(X+2)}{(X+2)(X+3)} \]

Pasul 3: Punem sub aceeași fracție:

\[ \displaystyle \frac{X(X+3) + 2(X+2)}{(X+2)(X+3)} \]

Pasul 4: Descompunem și simplificăm dacă este posibil.

\[ \displaystyle \frac{X^2}{X-1} - \frac{2}{X-1} \]

Pasul 1: Determinăm \(DVA: X \neq 1\).

Pasul 2: Avem deja numitor comun:

\[ \displaystyle \frac{X^2 - 2}{X-1} \]

Pasul 3: Descompunem numărătorul (dacă este posibil) și simplificăm.

\[ \displaystyle \frac{X+3}{X-2} \cdot \frac{X-2}{X+1} \]

Pasul 1: Determinăm \(DVA: X \neq -1, X \neq 2\).

Pasul 2: Înmulțim direct:

\[ \displaystyle \frac{(X+3)(X-2)}{(X-2)(X+1)} \]

Pasul 3: Simplificăm:

\[ \displaystyle \frac{X+3}{X+1} \]

\[ \displaystyle \frac{X}{X+2} : \frac{X+3}{X-1} \]

Pasul 1: Determinăm \(DVA: X \neq -2, X \neq -3, X \neq 1\).

Pasul 2: Transformăm împărțirea în înmulțire cu inversul:

\[ \displaystyle \frac{X}{X+2} \cdot \frac{X-1}{X+3} \]

Pasul 3: Înmulțim și simplificăm dacă este posibil.

Rezultatul final:

\[ \displaystyle \frac{X(X-1)}{(X+2)(X+3)} \]