Patrat
Definiție
Pătratul este un patrulater cu toate laturile egale și toate unghiurile drepte (de \(90^\circ\)). Este o figură geometrică cu multe proprietăți importante.
Proprietăți ale pătratului
- Toate laturile egale: Fiecare dintre cele patru laturi ale pătratului are aceeași lungime.
- Toate unghiurile sunt drepte: Fiecare unghi al pătratului măsoară \(90^\circ\).
- Diagonalele sunt egale: Cele două diagonale ale pătratului au aceeași lungime.
- Jumătățile diagonalelor sunt egale: Punctul de intersecție al diagonalelor împarte fiecare diagonală în două segmente egale.
- Diagonalele formează triunghiuri dreptunghice: Fiecare diagonală împarte pătratul în două triunghiuri dreptunghice congruente.
Formula pentru aria pătratului
Aria unui pătrat se calculează folosind formula:
\[ A = l^2 \]
unde \( l \) reprezintă lungimea unei laturi.
Formula pentru diagonala pătratului
Lungimea diagonalei unui pătrat se calculează folosind teorema lui Pitagora:
\[ d = l \cdot \sqrt{2} \]
unde \( l \) este lungimea unei laturi.
Triunghiurile dreptunghice din pătrat
Fiecare diagonală împarte pătratul în două triunghiuri dreptunghice. Aceste triunghiuri au:
- Catetele egale cu latura pătratului (\( l \))
- Ipotenuza egală cu diagonala pătratului (\( l \cdot \sqrt{2} \))
Exerciții
1
Fie un pătrat cu latura de \( 5 \, \text{cm} \). Calculați:
- Aria pătratului
- Lungimea diagonalei pătratului
2
Un pătrat are diagonala de \( 10 \, \text{cm} \). Determinați:
- Lungimea laturii pătratului
- Aria pătratului
3
Fie un pătrat cu aria de \( 64 \, \text{cm}^2 \). Calculați:
- Lungimea laturii pătratului
- Lungimea diagonalei pătratului
4
Într-un pătrat cu latura de \( 8 \, \text{cm} \), se trasează o diagonală. Calculați:
- Aria fiecăruia dintre triunghiurile dreptunghice formate de diagonală
- Perimetrul fiecărui triunghi dreptunghic
5
Fie un pătrat în care lungimea unei laturi este de \( 6 \, \text{cm} \). Determinați:
- Aria pătratului
- Diagonala pătratului
- Suma lungimilor tuturor laturilor pătratului (perimetrul)