Formule pentru Puterea a 2-a

Formulele de calcul prescurtat pentru puterea a 2-a sunt:

• \( \displaystyle (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \)
• \( \displaystyle (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \)
• \( \displaystyle a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) \)

De asemenea, este posibil să descompunem fără utilizarea formulei dacă observăm structura termenilor.

Scoaterea Factorului Comun

Scoaterea factorului comun constă în identificarea unui termen comun pentru toți termenii unei expresii și factorizarea acestuia.

Exemplu:

\( \displaystyle 2x^6 - 4x^5 = 2x^5(x-2) \)

Criteriile de Divizibilitate

• Cu 2: Numărul este divizibil cu 2 dacă ultima cifră este pară.
• Cu 3: Numărul este divizibil cu 3 dacă suma cifrelor sale este divizibilă cu 3.
• Cu 5: Numărul este divizibil cu 5 dacă ultima cifră este 0 sau 5.
• Cu 10: Numărul este divizibil cu 10 dacă ultima cifră este 0.

Gruparea Termenilor

Gruparea termenilor implică organizarea lor în perechi pentru a aplica formulele de calcul prescurtat.

Exemplu:

\( \displaystyle x^3 + x^2 - 6x - 6 = x^2(x+1) - 6(x+1) = (x^2 - 6)(x+1) \)

Descompunerea Ecuației de Gradul 2

1. Descompunerea ecuației complete

Rezolvăm ecuația completă:

\( \displaystyle 2x^2 - 2x - 12 = 2(x+2)(x-3) \)

Detalii:

• \( \displaystyle \Delta = (-2)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-12) = 4 + 96 = 100 \)
• \( \displaystyle x_1 = \frac{-(-2) - \sqrt{100}}{2 \cdot 2} = \frac{2 - 10}{4} = -2 \)
• \( \displaystyle x_2 = \frac{-(-2) + \sqrt{100}}{2 \cdot 2} = \frac{2 + 10}{4} = 3 \)

2. Descompunerea ecuației cu \( \Delta = 0 \)

Rezolvăm ecuația:

\( \displaystyle x^2 - 28x + 196 = (x-14)^2 \)

Detalii:

• \( \displaystyle \Delta = (-28)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 196 = 784 - 784 = 0 \)
• \( \displaystyle x = \frac{-(-28)}{2 \cdot 1} = \frac{28}{2} = 14 \)

Soluția este: \( \displaystyle (x-14)^2 = 0 \), deci \( \displaystyle x = 14 \).

Exerciții