Formule pentru Puterea a 2-a
Formulele de calcul prescurtat pentru puterea a 2-a sunt:
- \( \displaystyle (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \)
- \( \displaystyle (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \)
- \( \displaystyle a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) \)
De asemenea, este posibil să descompunem fără utilizarea formulei dacă observăm structura termenilor.
Scoaterea Factorului Comun
Scoaterea factorului comun constă în identificarea unui termen comun pentru toți termenii unei expresii și factorizarea acestuia.
Exemplu:
\( \displaystyle 2x^6 - 4x^5 = 2x^5(x-2) \)
Criteriile de Divizibilitate
- Cu 2: Numărul este divizibil cu 2 dacă ultima cifră este pară.
- Cu 3: Numărul este divizibil cu 3 dacă suma cifrelor sale este divizibilă cu 3.
- Cu 5: Numărul este divizibil cu 5 dacă ultima cifră este 0 sau 5.
- Cu 10: Numărul este divizibil cu 10 dacă ultima cifră este 0.
Gruparea Termenilor
Gruparea termenilor implică organizarea lor în perechi pentru a aplica formulele de calcul prescurtat.
Exemplu:
\( \displaystyle x^3 + x^2 - 6x - 6 = x^2(x+1) - 6(x+1) = (x^2 - 6)(x+1) \)
Descompunerea Ecuației de Gradul 2
1. Descompunerea ecuației complete
Rezolvăm ecuația completă:
\( \displaystyle 2x^2 - 2x - 12 = 2(x+2)(x-3) \)
Detalii:
- \( \displaystyle \Delta = (-2)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-12) = 4 + 96 = 100 \)
- \( \displaystyle x_1 = \frac{-(-2) - \sqrt{100}}{2 \cdot 2} = \frac{2 - 10}{4} = -2 \)
- \( \displaystyle x_2 = \frac{-(-2) + \sqrt{100}}{2 \cdot 2} = \frac{2 + 10}{4} = 3 \)
2. Descompunerea ecuației cu \( \Delta = 0 \)
Rezolvăm ecuația:
\( \displaystyle x^2 - 28x + 196 = (x-14)^2 \)
Detalii:
- \( \displaystyle \Delta = (-28)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 196 = 784 - 784 = 0 \)
- \( \displaystyle x = \frac{-(-28)}{2 \cdot 1} = \frac{28}{2} = 14 \)
Soluția este: \( \displaystyle (x-14)^2 = 0 \), deci \( \displaystyle x = 14 \).
Exerciții
1
\( \displaystyle 2x^3 - 3x^2 + 2x - 3 \)
Răspuns: \( \displaystyle (x^2 + 1)(2x - 3) \)
2
\( \displaystyle 2x^2 + 3x - 2 \)
Răspuns: \( \displaystyle (2x - 1)(x + 2) \)
3
\( \displaystyle x^3 - 3x^2 - 4x \)
Răspuns: \( \displaystyle x(x - 4)(x + 1) \)
4
\( \displaystyle 64x^5 - 81x^3 \)
Răspuns: \( \displaystyle x^3(8x - 9)(8x + 9) \)
5
\( \displaystyle \frac{x^4}{4} - \frac{1}{9} \)
Răspuns: \( \displaystyle \left(\frac{x^2}{2} - \frac{1}{3}\right)\left(\frac{x^2}{2} + \frac{1}{3}\right) \)
6
\( \displaystyle x^3 - 6x^2 \)
Răspuns: \( \displaystyle x^2(x - 6) \)
7
\( \displaystyle x^3 + 5x^2 + 6x \)
Răspuns: \( \displaystyle x(x + 2)(x + 3) \)
8
\( \displaystyle 4x(x+2) - 2(x+2) \)
Răspuns: \( \displaystyle 2(x + 2)(2x - 1) \)
9
\( \displaystyle x^2 - 14x + 49 \)
Răspuns: \( \displaystyle (x - 7)^2 \)
10
\( \displaystyle 4x^2 + 4x + 1 \)
Răspuns: \( \displaystyle (2x + 1)^2 \)
Răspunsuri
1
\( \displaystyle (x^2 + 1)(2x - 3) \)
2
\( \displaystyle (2x - 1)(x + 2) \)
3
\( \displaystyle x(x - 4)(x + 1) \)
4
\( \displaystyle x^3(8x - 9)(8x + 9) \)
5
\( \displaystyle \left(\frac{x^2}{2} - \frac{1}{3}\right)\left(\frac{x^2}{2} + \frac{1}{3}\right) \)
6
\( \displaystyle x^2(x - 6) \)
7
\( \displaystyle x(x + 2)(x + 3) \)
8
\( \displaystyle 2(x + 2)(2x - 1) \)
9
\( \displaystyle (x - 7)^2 \)
10
\( \displaystyle (2x + 1)^2 \)
Rezolvări
1
Grupăm termenii:
\( 2x^3 - 3x^2 + 2x - 3 = x^2(2x - 3) + 1(2x - 3) \)
Scoatem factorul comun \( (2x-3) \):
\( = (x^2 + 1)(2x - 3) \)
2
Calculăm discriminantul:
\( \Delta = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25 \)
Rădăcinile:
\( x_1 = \displaystyle\frac{-3 - 5}{4} = -2, \quad x_2 = \frac{-3 + 5}{4} = \frac{1}{2} \)
Descompunerea: \( 2(x + 2)\left(x - \displaystyle\frac{1}{2}\right) = (x + 2)(2x - 1) \)
3
Scoatem factorul comun \( x \):
\( x^3 - 3x^2 - 4x = x(x^2 - 3x - 4) \)
Descompunem \( x^2 - 3x - 4 \) calculând discriminantul:
\( \Delta = 9 + 16 = 25 \Rightarrow x_1 = \displaystyle\frac{3-5}{2} = -1, \; x_2 = \frac{3+5}{2} = 4 \)
\( = x(x - 4)(x + 1) \)
4
Scoatem factorul comun \( x^3 \):
\( 64x^5 - 81x^3 = x^3(64x^2 - 81) \)
Aplicăm formula diferenței de pătrate \( a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) \) cu \( a = 8x \) și \( b = 9 \):
\( = x^3(8x - 9)(8x + 9) \)
5
Recunoaștem diferența de pătrate cu \( a = \displaystyle\frac{x^2}{2} \) și \( b = \displaystyle\frac{1}{3} \):
\( \displaystyle\frac{x^4}{4} - \frac{1}{9} = \left(\frac{x^2}{2}\right)^2 - \left(\frac{1}{3}\right)^2 = \left(\frac{x^2}{2} - \frac{1}{3}\right)\left(\frac{x^2}{2} + \frac{1}{3}\right) \)
6
Scoatem factorul comun \( x^2 \):
\( x^3 - 6x^2 = x^2 \cdot x - x^2 \cdot 6 = x^2(x - 6) \)
7
Scoatem factorul comun \( x \):
\( x^3 + 5x^2 + 6x = x(x^2 + 5x + 6) \)
Descompunem \( x^2 + 5x + 6 \):
\( \Delta = 25 - 24 = 1 \Rightarrow x_1 = \displaystyle\frac{-5-1}{2} = -3, \; x_2 = \frac{-5+1}{2} = -2 \)
\( = x(x + 2)(x + 3) \)
8
Scoatem factorul comun \( (x+2) \):
\( 4x(x+2) - 2(x+2) = (x+2)(4x - 2) \)
Scoatem factorul 2 din \( (4x-2) \):
\( = 2(x + 2)(2x - 1) \)
9
Recunoaștem formula pătratului unui binom \( (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \) cu \( a = x \) și \( b = 7 \):
\( x^2 - 14x + 49 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 7 + 7^2 = (x - 7)^2 \)
10
Recunoaștem formula pătratului unui binom \( (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \) cu \( a = 2x \) și \( b = 1 \):
\( 4x^2 + 4x + 1 = (2x)^2 + 2 \cdot 2x \cdot 1 + 1^2 = (2x + 1)^2 \)