Item 10 - exercitii de exersare
Exerciții
1
Laturile bazei unui paralelipiped dreptunghic au lungimile de 7 cm și 24 cm, iar înălțimea paralelipipedului este de 8 cm. Determinați aria secțiunii diagonale a paralelipipedului.
2
Într-o piramidă patrulateră regulată înălțimea are lungimea de 7 cm, iar latura bazei are 8 cm. Să se afle lungimea muchiei laterale a piramidei.
3
Raza bazei unui cilindru circular drept este de \( 7 \, \text{cm} \), iar aria laterală este egală cu \( 182\pi \, \text{cm}^{2} \). Calculați volumul cilindrului.
4
Să se afle volumul unui con circular drept, care are aria totală de \( 96\pi \, \text{cm}^{2} \) și aria laterală de \( 60\pi \, \text{cm}^{2} \).
5
Aria totală a unui cilindru circular drept este egală cu \( 120\pi \, \text{cm}^{2} \), iar aria laterală a cilindrului este egală cu \( 48\pi \, \text{cm}^{2} \). Să se afle volumul cilindrului.
6
Baza paralelipipedului dreptunghic \( A B C D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1} \) este un pătrat. Lungimea diagonalei paralelipipedului \( A_{1} C \) este 15 cm, iar lungimea diagonalei bazei \( A C \) este 12 cm. Calculați aria suprafeței laterale a paralelipipedului.
7
Înălțimea unui con circular drept este de \( 5 \sqrt{3} \mathrm{~cm} \). Știind că secțiunea axială a conului este un triunghi echilateral, să se afle aria laterală și volumul conului.
8
Diagonala bazei unei piramide patrulatere regulate este de \( 2\sqrt{2} \mathrm{~cm} \), iar înălțimea piramidei este de 3 cm. Determinați volumul piramidei.
9
Dimensiunile unui paralelipiped dreptunghic sunt egale cu \( 15 \mathrm{~cm}, 50 \mathrm{~cm}, 36 \mathrm{~cm} \). Să se afle lungimea muchiei unui cub care același volum ca și paralelipiedul dat.
10
Lungimea înălțimii unei prisme patrulatere regulate este de două ori mai mare decât lungimea laturii bazei prismei. Volumul prismei este egal cu \( 16 \mathrm{~cm}^{3} \). Determinați lungimea înălțimii prismei.
11
Un vas de forma unui paralelipiped dreptunghic cu dimensiunile de \( 40 \, \text{cm}, \, 15 \, \text{cm} \) și \( 20 \, \text{cm} \) este plin cu apă. Toată apa din acest vas s-a turnat într-un vas cubic cu muchia de \( 50 \, \text{cm} \). La ce înălțime s-a ridicat apa în vasul cubic?
12
Un con circular drept are lungimea razei bazei de \( 5 \, \text{cm} \) și înălțimea de \( 12 \, \text{cm} \). Să se afle aria totală a conului.
13
O piesă metalică în formă de paralelipiped dreptunghic cu dimensiunile de \( 4 \, \text{cm}, 6 \, \text{cm}, 9 \, \text{cm} \) a fost topită și transformată într-un cub. Determinați lungimea muchiei cubului.
14
\( 25\% \) din volumul unui cilindru circular drept este \( 25 \pi \, \text{cm}^3 \). Știind că raza bazei cilindrului este \( 5 \, \text{cm} \), să se afle lungimea înălțimii cilindrului.
15
Un con circular drept are raza bazei de \( 40 \, \text{cm} \) și înălțimea de \( 30 \, \text{cm} \). La \( 12 \, \text{cm} \) de la vârful conului este dus un plan secant, paralel cu baza conului. Determinați volumul conului mic obținut la intersecție.
16
Un corp din metal de forma unui cilindru circular drept cu înălțimea de \( 20 \, \text{cm} \) a fost topit și transformat într-un con circular drept, raza bazei caruia este congruenta cu raza bazei cilindrului. Sa se determine lungimea inaltimii conului.
17
Volumul unei prisme patrulatere regulate este egal cu \( 500 \, \text{cm}^3 \), iar înălțimea prismei are \( 5 \, \text{cm} \). Să se afle aria laterală a prismei.
18
Sala de clasă are forma unui paralelipiped dreptunghic cu înălțimea egală cu \( 3,5 \, \text{m} \). În această sală învață \( 28 \, \text{de elevi} \). Determinați cu ce trebuie să fie egală aria podelei acestei săli de clasă, pentru a fi respectată cerința igienică – fiecarui elev i se atribuie \( 7,5 \, \text{m}^3 \) de spațiu.
19
Secțiunea axială a unui con circular drept are aria de \( 48 \, \text{cm}^2 \), iar înălțimea conului este \( 8 \, \text{cm} \). Să se afle aria totală a conului.
20
Un paralelipiped dreptunghic \( ABCD, B_1C_1D_1A_1 \) are dimensiunile \( AB = 6 \, \text{cm} \) și \( BC = 8 \, \text{cm} \), iar volumul \( V = 480 \, \text{cm}^3 \). Să se calculeze aria totală a paralelipipedului.
21
Trei bile din metal cu raza de \( 2 \, \text{cm} \) se retopesc într-un cilindru circular drept. Determinați lungimea înălțimii cilindrului, dacă raza bazei cilindrului este congruentă cu raza bilei.
22
Să se afle volumul unei piramide patrulatere regulate, dacă se știe că lungimea muchiei laterale este egală cu lungimea diagonalei bazei și este egală cu \( 6 \, \text{cm} \).
23
Într-o prismă patrulateră regulată lungimea laturii bazei este egală cu \( 3 \, \text{cm} \), iar aria totală a prismei este egală cu \( 102 \, \text{cm}^2 \). Să se afle volumul prismei.
24
Sucul dintr-un pahar plin de forma unui con circular drept cu înălțimea de \( 8 \, \text{cm} \) și diametrul bazei egal cu \( 18 \, \text{cm} \), a fost turnat într-un pahar de forma unui cilindru circular drept cu diametrul bazei egal cu \( 8 \, \text{cm} \). La ce înălțime s-a ridicat nivelul sucului în paharul în care a fost turnat?
25
Lungimea muchiei laterale a unei prisme patrulatere regulate este de două ori mai mare decât lungimea laturii bazei. Să se afle volumul prismei, știind că aria laterală a ei este egală cu \( 128 \, \text{cm}^2 \).
26
Volumul unui cilindru circular drept este egal cu \( 25 \, \text{cm}^3 \). Dacă raza bazei cilindrului se mărește de \( 3 \) ori, iar generatoarea se micșorează de \( 3 \) ori, să se afle volumul cilindrului nou obținut.
27
Dimensiunile unei cărămizi sunt: \( 8 \, \text{cm}, 8 \, \text{cm} \, \text{și} \, 24 \, \text{cm} \). Într-un metru cub de zidărie intră \( 400 \, \text{de cărămizi} \). Cât la sută din volumul zidului reprezintă mortarul?
28
Aria suprafeței laterale a unui con circular drept este egală cu \( 16 \, \text{cm}^2 \). Raza bazei conului se micșorează de \( 4 \, \text{ori} \), iar generatoarea se mărește de \( 2 \, \text{ori} \). Să se afle aria suprafeței laterale a conului nou obținut.
29
Într-o piramidă patrulateră regulată cu volumul de \( 36 \, \text{cm}^3 \), înălțimea este de două ori mai mică decât muchia bazei. Determinați lungimea muchiei bazei.
30
Generatoarea unui con circular drept formează cu planul bazei conului un unghi cu măsura de \( 30^\circ \) și are lungimea de \( 8 \, \text{cm} \). Să se afle volumul conului.
31
O cutie are forma de paralelipiped dreptunghic cu dimensiunile \( 35 \, \text{cm}, \, 22 \, \text{cm}, \, 16 \, \text{cm} \). Aflați volumul materialului din care este confecționată cutia, știind că grosimea pereților acesteia este de \( 1 \, \text{cm} \).
32
Într-un cilindru circular drept lungimea razei și a înălțimii sunt direct proporționale cu numerele \( 3 \, \text{și} \, 5 \), iar aria laterală a cilindrului este egală cu \( 750 \pi \, \text{cm}^2 \). Să se afle aria totală și volumul cilindrului.
33
Să se afle volumul unui con circular drept care are aria laterală egală cu \( 80 \pi \, \mathrm{cm}^2 \) și aria totală egală cu \( 144 \pi \, \mathrm{cm}^2 \).
34
Înălțimea \( [VO] \) a piramidei triunghiulare regulate \( VABC \), \( O \in (ABC) \), este egală cu 75% din \( AB \), iar înălțimea triunghiului \( ABC \) este de \( 2\sqrt{3} \, \mathrm{cm} \). Calculați volumul piramidei.
35
Aria bazei unei prisme patrulatere regulate este egală cu \( 144 \, \mathrm{cm}^2 \), iar înălțimea prismei este \( 14 \, \mathrm{cm} \). Să se afle lungimea diagonalei prismei.
36
Petru a cumpărat lapte în 2 pachete de formă unei piramide patrulatere regulate cu latura bazei de \( 10 \, \text{cm} \) și înălțimea de \( 9 \, \text{cm} \). Ana a cumpărat lapte într-un pachet de forma unei prisme patrulatere regulate cu latura bazei \( 5 \, \text{cm} \) și înălțimea \( 25 \, \text{cm} \). Cine a cumpărat mai mult lapte?
37
O prismă triunghiulară regulată are volumul de \( 75\sqrt{3} \, \text{cm}^3 \) și înălțimea de \( 12 \, \text{cm} \). Să se afle lungimea laturii bazei prismei.
38
Un paralelipiped dreptunghic are dimensiunile direct proporționale cu numerele 4,5; 6 si 8. Determinați aria totală a paralelipipedului, știind că volumul său este egal cu volumul unui cub cu diagonala de \( 12\sqrt{3} \, \text{cm} \).
39
O bârnă de lemn are forma unui cilindru circular drept cu înălțimea de \( 2 \, \text{m} \) și diametrul bazei de \( 0,2 \, \text{m} \). Determinați masa bârnei, dacă densitatea specifică a lemnului este egală cu \( 800 \, \text{kg/m}^3 \). Rotunjiți rezultatul până la unități.
40
Baza unei piramide este un trapez isoscel cu bazele de \( 16 \, \text{cm} \) și \( 5 \, \text{cm} \) și diagonala egală cu \( 8 \, \text{cm} \), perpendiculară pe una dintre laturile neparalele ale acestuia. Aflați volumul piramidei, dacă se știe că înălțimea ei este egală cu \( 15 \, \text{cm} \).
41
Un cilindru circular drept are înălțimea de \( 7 \, \text{cm} \) și volumul de \( 63\pi \, \text{cm}^3 \). Să se afle aria totală a cilindrului.
42
O prismă triunghiulară regulată are diagonala unei fețe laterale de 26 cm și înălțimea de 24 cm. Să se afle volumul prismei.
43
Un cub are aria totală egală cu \( 216 \, \text{cm}^2 \). Să se afle lungimea diagonalei unei fețe a cubului.
44
Nicu a turnat suc într-un pahar de forma unui cilindru circular drept cu raza bazei de \( 3 \, \text{cm} \), lăsând rezervă pentru gheață \( 1 \, \text{cm} \) din înălțimea paharului. Determinați daca se va vărsa suc după ce Nicu va pune în pahar \( 3 \) cuburi de gheață cu muchia de \( 2 \, \text{cm} \).
45
O prismă triunghiulară regulată are aria laterală de \( 54 \, \text{cm}^2 \) și aria bazei de \( 3\sqrt{3} \, \text{cm}^2 \). Să se afle volumul prismei.
46
Înălțimea unui con circular drept este \( 6 \, \text{cm} \), iar raza bazei conului este egală cu \( 30\% \) din lungimea înălțimii. Aflați volumul conului.
47
Aria bazei unei piramide patrulatere regulate este egală cu \( 16 \, \text{cm}^2 \). Lungimea laturii bazei piramidei se raportează la lungimea apotemei piramidei ca \( 2 : 3 \). Determinați aria suprafeței laterale a piramidei.
48
Secțiunea axială a unui cilindru circular drept este un dreptunghi cu dimensiunile de \( 10 \, \text{cm} \) și \( 20 \, \text{cm}. \) Să se afle volumul cilindrului.
49
Vor încăpea 10 litri de apă într-o căldare de forma unui cilindru circular drept, având diametrul bazei egal cu \( 0,2 \, \text{m} \) și înălțimea egală cu \( 0,3 \, \text{m} \)?
50
O prismă triunghiulară regulată are perimetrul bazei de \( 36 \, \text{cm} \) și aria laterală egală cu \( 864\sqrt{3} \, \text{cm}^2. \) Să se afle volumul prismei.
51
O piesă metalică în formă de paralelipiped dreptunghic cu dimensiunile de \( 4 \, \text{cm} \), \( 6 \, \text{cm} \) și \( 9 \, \text{cm} \) a fost topită și transformată într-un cub. Determinați lungimea muchiei cubului.
52
Aria laterală a unui cilindru circular drept este egală cu aria bazei cilindrului. Știind că volumul cilindrului este egal cu \( 1372\pi \, \text{cm}^3 \), să se afle aria laterală a cilindrului.
53
Într-o piramidă patrulateră regulată apotema bazei este de \( 5 \, \text{cm} \), iar apotema piramidei de \( 13 \, \text{cm} \). Să se afle aria laterală și volumul piramidei.
54
O piesă din metal de forma unui paralelipiped dreptunghic are dimensiunile de \( 10 \, \text{cm}, \, 15 \, \text{cm}, \, 20 \, \text{cm} \). Piesa a fost retopită în piese mai mici care au forma de cub cu muchia de \( 10 \, \text{cm} \). Câte piese mici au fost obținute?
55
Un cilindru circular drept are secțiunea axială un pătrat cu aria de \( 64 \, \text{cm}^2 \). Să se afle volumul cilindrului.
56
Să se afle lungimea diagonalei unei prisme patrulatere regulate, știind că diagonala bazei este \( 8 \, \text{cm} \), iar diagonala unei fețe laterale este \( 7 \, \text{cm} \).
57
Pe o masă sunt \(3\) cuburi. Muchiile a două dintre ele sunt de \(5 \, \text{cm}\) și \(12 \, \text{cm}\). Determinați lungimea muchiei celui de-al treilea cub, dacă se știe că pentru a vopsi suprafața celui de-al treilea cub se folosește aceeași cantitate de vopsea câtă ar fi necesară pentru a vopsi suprafața celorlalte \(2\) cuburi.
58
Diagonala unui cub este de \(3\sqrt{11} \, \text{cm}\). Determinați lungimea muchiei cubului.
59
La o fabrică de conserve, sucul de mere dintr-o cisternă plină de forma unui paralelipiped dreptunghic cu dimensiunile de \(3 \, \text{m}, 2 \, \text{m}, 1 \, \text{m}\), se toarnă în pachete de forma unui paralelipiped dreptunghic cu dimensiunile de \(5 \, \text{cm}, 10 \, \text{cm}, 20 \, \text{cm}\). Determinați numărul de pachete umplute cu sucul dintr-o cisternă.
60
O piesă metalică în formă de paralelipiped dreptunghic cu dimensiunile de \(4 \, \text{cm}, 6 \, \text{cm}, 9 \, \text{cm}\) a fost topită și transformată într-un cub. Determinați lungimea muchiei cubului.
61
Volumul unui paralelipiped dreptunghic este egal cu \( 192 \, \text{cm}^3 \). Determinați dimensiunile paralelipipedului, dacă acestea se raportează ca \( 2 : 3 : 4 \).
62
Secțiunea diagonală a unei prisme patrulatere regulate este un pătrat cu latura de lungime egală cu \(2 \, \text{cm}\). Să se determine volumul prismei.
63
Un corp din metal de forma unui cub cu muchia de \(6 \, \text{cm}\) a fost topit și transformat în \(6\) corpuri identice de forma unei prisme patrulatere regulate cu latura bazei de \(2 \, \text{cm}\). Determinați lungimea înălțimii prismei.
64
Lungimea înălțimii unei prisme patrulatere regulate este de două ori mai mare decât lungimea laturii bazei prismei. Volumul prismei este egal cu \(16 \, \text{cm}^3\). Determinați lungimea înălțimii prismei.
65
Baza unei prisme drepte este un triunghi dreptunghic cu catetele de \( 12 \, \text{cm} \) și \( 5 \, \text{cm} \), iar înălțimea prismei este de \( 2 \, \text{cm} \). Bazele sunt colorate cu vopsea de culoare roșie, iar fețele laterale - cu vopsea de culoare albastră. Determinați vopseaua de care culoare s-a folosit mai multă.
66
Muchia laterală a unei piramide patrulatere regulate are \( 20 \, \text{cm} \), iar latura bazei are \( 30 \, \text{cm} \). Să se calculeze aria totală a piramidei.
67
Determinați volumul piramidei patrulatere regulate având diagonala bazei de \(2\sqrt{2} \, \text{cm}\) și înălțimea piramidei de \(3 \, \text{cm}\).
68
Aria bazei unei piramide patrulatere regulate este egală cu \(16 \, \text{cm}^2\). Lungimea laturii bazei se raportează la lungimea apotemei piramidei ca \(2:3\). Determinați aria suprafeței laterale a piramidei.
69
Într-o piramidă patrulateră regulată cu volumul de \(36 \, \text{cm}^3\), înălțimea este de \(2\) ori mai mică decât muchia bazei. Determinați lungimea muchiei bazei.
70
Petru a cumpărat lapte în \(2\) pachete de forma unei piramide patrulatere regulate cu latura bazei de \(10 \, \text{cm}\) și înălțimea de \(9 \, \text{cm}\), iar Ana într-un pachet de forma unei prisme patrulatere regulate cu latura bazei de \(5 \, \text{cm}\) și înălțimea de \(25 \, \text{cm}\). Determinați cine a cumpărat o cantitate mai mare de lapte.
71
Determinați lungimea înălțimii unei piramide patrulatere regulate care are toate muchiile de \(4 \, \text{cm}\).
72
Aria bazei unei piramide patrulatere regulate este egală cu \(25 \, \text{cm}^2\). Determinați aria laterală, dacă se cunoaște că apotema piramidei este de trei ori mai mare decât latura bazei.
73
Într-o piramidă triunghiulară regulată se știe că \(A_b = 9\sqrt{3} \, \text{cm}^2 \, \text{ și } a_p = 5 \, \text{cm}\). Să se afle aria laterală a piramidei.
74
Perimetrul bazei unei piramide triunghiulare regulate este de \( 18\sqrt{3} \, \text{cm} \), înălțimea este de \( 4 \, \text{cm} \), iar apotema piramidei este de \( 5 \, \text{cm} \). Să se afle aria laterală, aria totală și volumul piramidei.
75
Dacă volumul unei piramide triunghiulare regulate este de \( 3\sqrt{3} \, \text{cm}^3 \), înălțimea are \( 1 \, \text{cm} \) și apotema piramidei este de \( 2 \, \text{cm} \). Să se afle aria laterală.
76
Să se calculeze aria totală a unei piramide triunghiulare regulate, dacă apotema are \( 4 \, \text{cm} \) și aria bazei este \( 27\sqrt{3} \, \text{cm}^2. \)
77
Secțiunea axială a unui cilindru circular drept este un pătrat cu diagonala de \(6\sqrt{2} \, \text{cm}\). Să se calculeze volumul și aria laterală a cilindrului.
78
Sectiunea axială a unui cilindru circular drept este un pătrat cu aria egală cu \(36 \, \text{cm}^2\). Să se determine volumul cilindrului.
79
O cisternă are forma unui cilindru circular drept cu raza bazei de \(1 \, \text{m}\) și înălțimea de \(3 \, \text{m}\). Determinați dacă \(4\) cutii cu vopsea vor fi suficiente pentru vopsirea suprafeței totale a cisternei, dacă se știe că suprafața care poate fi vopsită cu conținutul unei cutii este de \(6 \, \text{m}^2\).
80
Ion și doi prieteni ai săi au hotărât să bea câte un pahar cu suc. Determinați dacă un litru de suc este suficient pentru a umple trei pahare de forma unui cilindru circular drept cu raza bazei de \(3 \, \text{cm}\) și înălțimea de \(10 \, \text{cm}\).
81
O greutate din metal pentru bara de sport, de forma unui cilindru circular drept cu raza bazei de \(1.5 \, \text{dm}\) și înălțimea de \(0.4 \, \text{dm}\), are o gaură interioară de aceeași formă, aceeași înălțime și raza bazei de \(0.5 \, \text{dm}\). Determinați dacă \(12 \, \text{kg}\) de metal sunt suficiente pentru a turna o astfel de greutate, știind că densitatea \(\rho\) a metalului este egală cu \(5 \, \text{kg}/\text{dm}^3\) (\(m = \rho V\)).
82
Petru a turnat suc într-un pahar de formă unui cilindru circular drept cu raza bazei de \(3 \, \text{cm}\), lăsând rezervă pentru gheață \(1 \, \text{cm}\) din înălțimea paharului. Determinați dacă se va vărsa suc după ce Petru va pune în pahar \(3\) cuburi de gheață cu muchia de \(2 \, \text{cm}\).
83
O bârnă de lemn are formă unui cilindru circular drept cu înălțimea de \(2 \, \text{m}\) și diametrul bazei de \(0.2 \, \text{m}\). Determinați masa bârnei, dacă densitatea specifică a lemnului este egală cu \(800 \, \text{kg/m}^3\). Rotunjiți rezultatul până la unități.
84
O cisternă are formă unui cilindru circular drept cu raza bazei de \(1 \, \text{m}\) și înălțimea de \(3 \, \text{m}\). Determinați dacă apa din \(5\) cisterne pline de acest tip va încăpea într-un bazin de formă unui paralelipiped dreptunghic cu dimensiunile \(5 \, \text{m}\), \(5 \, \text{m}\) și \(2 \, \text{m}\).
85
Maria a mâncat o înghețată în forma unui con circular drept cu raza bazei de \(3 \, \text{cm}\) și înălțimea de \(12 \, \text{cm}\). Petru a mâncat o înghețată în forma unui paralelipiped dreptunghic cu dimensiunile de \(2 \, \text{cm}\), \(6 \, \text{cm}\), \(9 \, \text{cm}\). Determinați cine a mâncat mai multă înghețată.
86
Un corp din metal de forma unui cilindru circular drept cu înălțimea de \(20 \, \text{cm}\) a fost topit și transformat într-un con circular drept, raza bazei căruia este congruentă cu raza bazei cilindrului. Să se determine lungimea înălțimii conului.
87
Pentru un experiment chimic un elev are nevoie de \(20 \, \text{cm}^3\) de alcool etilic. El a turnat alcool etilic într-un recipient de forma unui con circular drept cu raza bazei de \(6 \, \text{cm}\) și înălțimea de \(4 \, \text{cm}\), umplând recipientul până la jumătate din înălțimea lui. Determinați dacă elevul a turnat în recipient suficient alcool etilic.
88
Să se afle diametrul unei bile de plută cu masa de \(0,32\pi \, \text{g}\), densitatea plutei este egală cu \(0,24 \, \text{g/cm}^3\).
89
Petru a vopsit suprafața unui cub cu muchia de \(4 \, \text{dm}\), iar Maria a vopsit o sferă cu raza de \(3 \, \text{dm}\). Determinați cine a vopsit o suprafață de arie mai mare.
90
Trei bile din metal cu raza de \(2 \, \text{cm}\) se retopesc într-un cilindru circular drept. Determinați lungimea înălțimii cilindrului, dacă raza bazei cilindrului este congruentă cu raza bilei.
91
O bilă din metal de forma unui corp sferic cu raza de \(5 \, \text{cm}\) se retopeste în bile cu raza de \(5 \, \text{mm}\). Determinați numărul de bile obținute după topire.
92
Opt bile din metal cu raza de \(3 \, \text{cm}\) se retopesc într-o singură bilă. Determinați lungimea razei bilei obținute.