DVA in rapoarte algebrice
În analiza rapoartelor algebrice, domeniul de valabilitate (DVA) al expresiei este definit ca mulțimea valorilor admise pentru variabila \( x \) pentru care raportul este definit.
Principii Generale
- Numitorul unui raport algebric nu poate fi egal cu \( 0 \).
- Se stabilește ecuația numitorului \( \neq 0 \), iar soluțiile acesteia sunt eliminate din domeniul lui \( x \).
- Dacă problema precizează deja restricții pe domeniu (de exemplu, \( x \in \mathbb{R} \setminus \{a, b\} \)), atunci nu mai este necesar să calculăm DVA-ul, deoarece acesta este deja specificat.
Exemple și Rezolvări
Exemplul 1
Determinați DVA-ul pentru raportul:
\( \displaystyle \frac{3x - 7}{2x + 10} \)
Rezolvare:
- \( 2x + 10 \neq 0 \)
- \( 2x \neq -10 \)
- \( x \neq -5 \)
Răspuns: \( \displaystyle DVA = \mathbb{R} \setminus \{-5\} \)
Exemplul 2
Determinați DVA-ul pentru raportul:
\( \displaystyle \frac{3x^2 - 5}{x^2 - 16} \)
Rezolvare:
- \( x^2 - 16 \neq 0 \)
- \( x \neq \pm 4 \)
Răspuns: \( \displaystyle DVA = \mathbb{R} \setminus \{-4, 4\} \)
Exemplul 3
Determinați DVA-ul pentru raportul:
\( \displaystyle \frac{5}{x^2 + 3x} \)
Rezolvare:
- \( x^2 + 3x \neq 0 \)
- Factorizăm: \( x(x + 3) \neq 0 \)
- \( x \neq 0 \), \( x \neq -3 \)
Răspuns: \( \displaystyle DVA = \mathbb{R} \setminus \{-3, 0\} \)
Observație
În cazul în care problema specifică deja restricțiile asupra domeniului (de exemplu, \( x \in \mathbb{R} \setminus \{a, b\} \)), nu este necesar să calculăm DVA-ul, deoarece acesta este deja indicat.