DVA in rapoarte algebrice

În analiza rapoartelor algebrice, domeniul de valabilitate (DVA) al expresiei este definit ca mulțimea valorilor admise pentru variabila \( x \) pentru care raportul este definit.

Principii Generale

Numitorul unui raport algebric nu poate fi egal cu \( 0 \).
Se stabilește ecuația numitorului \( \neq 0 \), iar soluțiile acesteia sunt eliminate din domeniul lui \( x \).
Dacă problema precizează deja restricții pe domeniu (de exemplu, \( x \in \mathbb{R} \setminus \{a, b\} \)), atunci nu mai este necesar să calculăm DVA-ul, deoarece acesta este deja specificat.

Exemple și Rezolvări

Exemplul 1

Determinați DVA-ul pentru raportul:

\( \displaystyle \frac{3x - 7}{2x + 10} \)

Rezolvare:

\( 2x + 10 \neq 0 \)
\( 2x \neq -10 \)
\( x \neq -5 \)

Răspuns: \( \displaystyle DVA = \mathbb{R} \setminus \{-5\} \)

Exemplul 2

Determinați DVA-ul pentru raportul:

\( \displaystyle \frac{3x^2 - 5}{x^2 - 16} \)

Rezolvare:

\( x^2 - 16 \neq 0 \)
\( x \neq \pm 4 \)

Răspuns: \( \displaystyle DVA = \mathbb{R} \setminus \{-4, 4\} \)

Exemplul 3

Determinați DVA-ul pentru raportul:

\( \displaystyle \frac{5}{x^2 + 3x} \)

Rezolvare:

\( x^2 + 3x \neq 0 \)
Factorizăm: \( x(x + 3) \neq 0 \)
\( x \neq 0 \), \( x \neq -3 \)

Răspuns: \( \displaystyle DVA = \mathbb{R} \setminus \{-3, 0\} \)

Observație

În cazul în care problema specifică deja restricțiile asupra domeniului (de exemplu, \( x \in \mathbb{R} \setminus \{a, b\} \)), nu este necesar să calculăm DVA-ul, deoarece acesta este deja indicat.

Exerciții

Determinați DVA-ul pentru raportul: \( \displaystyle \frac{2x + 3}{x - 4} \)

Determinați DVA-ul pentru raportul: \( \displaystyle \frac{x^2 - 9}{2x + 6} \)

Determinați DVA-ul pentru raportul: \( \displaystyle \frac{5x}{x^2 - 16} \)

Determinați DVA-ul pentru raportul: \( \displaystyle \frac{3x + 7}{x^2 + 2x - 8} \)

Determinați DVA-ul pentru raportul: \( \displaystyle \frac{x^2 - 4x}{x^2 - 2x - 3} \)

Determinați DVA-ul pentru raportul: \( \displaystyle \frac{4}{x^2 + x - 12} \)

Determinați DVA-ul pentru raportul: \( \displaystyle \frac{x^2 + 5x + 6}{2x^2 - 8x + 6} \)

Determinați DVA-ul pentru raportul: \( \displaystyle \frac{x}{x^3 - 3x^2 + 2x} \)

Determinați DVA-ul pentru raportul: \( \displaystyle \frac{x^2 + 7x + 12}{x^2 - 9} \)

Determinați DVA-ul pentru raportul: \( \displaystyle \frac{6}{x^2 - 2x - 15} \)

Determinați DVA-ul pentru raportul: \( \displaystyle \frac{x^2 - 6x}{2x^2 - x - 1} \)

Determinați DVA-ul pentru raportul: \( \displaystyle \frac{x + 4}{x^3 + x^2 - x - 1} \)

Răspunsuri

\( DVA = \mathbb{R} \setminus \{4\} \)

\( DVA = \mathbb{R} \setminus \{-3\} \)

\( DVA = \mathbb{R} \setminus \{-4, 4\} \)

\( DVA = \mathbb{R} \setminus \{-4, 2\} \)

\( DVA = \mathbb{R} \setminus \{-1, 3\} \)

\( DVA = \mathbb{R} \setminus \{-4, 3\} \)

\( DVA = \mathbb{R} \setminus \{1, 3\} \)

\( DVA = \mathbb{R} \setminus \{0, 1, 2\} \)

\( DVA = \mathbb{R} \setminus \{-3, 3\} \)

\( DVA = \mathbb{R} \setminus \{-3, 5\} \)

\( DVA = \mathbb{R} \setminus \left\{-\displaystyle\frac{1}{2}, 1\right\} \)

\( DVA = \mathbb{R} \setminus \{-1, 1\} \)

Rezolvări

Condiția numitorului:

\( x - 4 \neq 0 \Rightarrow x \neq 4 \)

\( DVA = \mathbb{R} \setminus \{4\} \)

Condiția numitorului:

\( 2x + 6 \neq 0 \Rightarrow 2x \neq -6 \Rightarrow x \neq -3 \)

\( DVA = \mathbb{R} \setminus \{-3\} \)

Condiția numitorului:

\( x^2 - 16 \neq 0 \Rightarrow (x-4)(x+4) \neq 0 \Rightarrow x \neq \pm 4 \)

\( DVA = \mathbb{R} \setminus \{-4, 4\} \)

Condiția numitorului: \( x^2 + 2x - 8 \neq 0 \)

\( \Delta = 4 + 32 = 36 \Rightarrow x_1 = \displaystyle\frac{-2-6}{2} = -4, \; x_2 = \frac{-2+6}{2} = 2 \)

Deci \( (x+4)(x-2) \neq 0 \Rightarrow x \neq -4 \) și \( x \neq 2 \)

\( DVA = \mathbb{R} \setminus \{-4, 2\} \)

Condiția numitorului: \( x^2 - 2x - 3 \neq 0 \)

\( \Delta = 4 + 12 = 16 \Rightarrow x_1 = \displaystyle\frac{2-4}{2} = -1, \; x_2 = \frac{2+4}{2} = 3 \)

Deci \( (x+1)(x-3) \neq 0 \Rightarrow x \neq -1 \) și \( x \neq 3 \)

\( DVA = \mathbb{R} \setminus \{-1, 3\} \)

Condiția numitorului: \( x^2 + x - 12 \neq 0 \)

\( \Delta = 1 + 48 = 49 \Rightarrow x_1 = \displaystyle\frac{-1-7}{2} = -4, \; x_2 = \frac{-1+7}{2} = 3 \)

Deci \( (x+4)(x-3) \neq 0 \Rightarrow x \neq -4 \) și \( x \neq 3 \)

\( DVA = \mathbb{R} \setminus \{-4, 3\} \)

Condiția numitorului: \( 2x^2 - 8x + 6 \neq 0 \Rightarrow x^2 - 4x + 3 \neq 0 \)

\( \Delta = 16 - 12 = 4 \Rightarrow x_1 = \displaystyle\frac{4-2}{2} = 1, \; x_2 = \frac{4+2}{2} = 3 \)

Deci \( (x-1)(x-3) \neq 0 \Rightarrow x \neq 1 \) și \( x \neq 3 \)

\( DVA = \mathbb{R} \setminus \{1, 3\} \)

Condiția numitorului: \( x^3 - 3x^2 + 2x \neq 0 \)

Scoatem factorul comun \( x \): \( x(x^2 - 3x + 2) \neq 0 \)

Descompunem \( x^2 - 3x + 2 \): \( \Delta = 9 - 8 = 1 \Rightarrow x_1 = 1, \; x_2 = 2 \)

\( x(x-1)(x-2) \neq 0 \Rightarrow x \neq 0, \; x \neq 1, \; x \neq 2 \)

\( DVA = \mathbb{R} \setminus \{0, 1, 2\} \)

Condiția numitorului:

\( x^2 - 9 \neq 0 \Rightarrow (x-3)(x+3) \neq 0 \Rightarrow x \neq \pm 3 \)

\( DVA = \mathbb{R} \setminus \{-3, 3\} \)

Condiția numitorului: \( x^2 - 2x - 15 \neq 0 \)

\( \Delta = 4 + 60 = 64 \Rightarrow x_1 = \displaystyle\frac{2-8}{2} = -3, \; x_2 = \frac{2+8}{2} = 5 \)

Deci \( (x+3)(x-5) \neq 0 \Rightarrow x \neq -3 \) și \( x \neq 5 \)

\( DVA = \mathbb{R} \setminus \{-3, 5\} \)

Condiția numitorului: \( 2x^2 - x - 1 \neq 0 \)

\( \Delta = 1 + 8 = 9 \Rightarrow x_1 = \displaystyle\frac{1-3}{4} = -\frac{1}{2}, \; x_2 = \frac{1+3}{4} = 1 \)

Deci \( \left(x + \displaystyle\frac{1}{2}\right)(x-1) \neq 0 \Rightarrow x \neq -\displaystyle\frac{1}{2} \) și \( x \neq 1 \)

\( DVA = \mathbb{R} \setminus \left\{-\displaystyle\frac{1}{2}, 1\right\} \)

Condiția numitorului: \( x^3 + x^2 - x - 1 \neq 0 \)

Grupăm termenii: \( x^2(x+1) - 1(x+1) \neq 0 \)

\( (x^2 - 1)(x+1) \neq 0 \)

\( (x-1)(x+1)(x+1) \neq 0 \Rightarrow (x-1)(x+1)^2 \neq 0 \)

\( x \neq 1 \) și \( x \neq -1 \)

\( DVA = \mathbb{R} \setminus \{-1, 1\} \)

Cuprins

Explicație
Exerciții