Unghiuri în Cerc

• Unghiul la centru: Este unghiul format de două raze ale cercului care pornesc din centrul cercului. Măsura unui unghi la centru este egală cu măsura arcului interceptat în grade.
• Unghiul înscris: Este unghiul format de două coarde ale cercului care se intersectează într-un punct de pe cerc. Măsura unui unghi înscris este jumătate din măsura arcului interceptat: \[ m(\angle ABC) = \frac{1}{2} \cdot m(\text{arc } AC) \]
• Daca un triunghi inscris in cerc contine centrul cercului, atunci acesta e numaidecat un triunghi dreptunghic cu centrul cercului pe mijlocul ipotenuzei
• Arc: Un arc este o parte din circumferința cercului. Măsura unui arc este exprimată în grade și este egală cu măsura unghiului la centru care îl interceptează.
• Lungimea arcului: Lungimea unui arc este dată de formula: \[ L = 2 \pi r \cdot \frac{\theta}{360} \] unde \(r\) este raza cercului și \(\theta\) este măsura arcului în grade.

Unghiuri în Patrulatere

• Unghiurile alăturate: În orice patrulater convex, suma unghiurilor alăturate (adiacente) este egală cu \(180^\circ\). Adică: \[ m(\angle A) + m(\angle B) = 180^\circ \quad \text{și} \quad m(\angle C) + m(\angle D) = 180^\circ \]
• Patrulatere înscrise: Dacă un patrulater este înscris într-un cerc, suma unghiurilor opuse este întotdeauna \(180^\circ\): \[ m(\angle A) + m(\angle C) = 180^\circ \quad \text{și} \quad m(\angle B) + m(\angle D) = 180^\circ \]

Exemple

1. Calculați măsura unghiului înscris: Dacă măsura arcului interceptat este \(120^\circ\), atunci: \[ m(\angle ABC) = \frac{1}{2} \cdot 120^\circ = 60^\circ \]

2. Determinați lungimea arcului: Într-un cerc cu raza de \(7 \, \text{cm}\), pentru un arc de \(90^\circ\), lungimea arcului este: \[ L = 2 \pi \cdot 7 \cdot \frac{90}{360} = \frac{7 \pi}{2} \, \text{cm} \]

Exerciții