Asemanarea triunghiurilor
Asemănarea triunghiurilor este o relație geometrică între două triunghiuri care au aceeași formă, dar dimensiuni diferite. Aceasta înseamnă că unghiurile corespunzătoare sunt congruente, iar laturile corespunzătoare sunt proporționale.
1. Teorema fundamentală a asemănării
Două triunghiuri sunt asemănătoare dacă îndeplinesc oricare dintre următoarele criterii:
- Unghi-Unghi (AA): Două triunghiuri sunt asemănătoare dacă două unghiuri ale unui triunghi sunt egale cu două unghiuri ale celuilalt triunghi.
- Latură-Unghi-Latură (SAS): Două triunghiuri sunt asemănătoare dacă un unghi al unui triunghi este egal cu un unghi al celuilalt triunghi, iar laturile care formează acest unghi sunt proporționale.
- Latură-Latură-Latură (SSS): Două triunghiuri sunt asemănătoare dacă toate cele trei laturi ale unui triunghi sunt proporționale cu cele trei laturi ale celuilalt triunghi.
Formularea proporțiilor
Dacă triunghiurile \( \triangle ABC \) și \( \triangle EBF \) sunt asemănătoare (\( \triangle ABC \sim \triangle EBF \)), atunci relațiile sunt:
- \( \frac{AB}{EB} = \frac{BC}{BF} = \frac{CA}{EF} \)
- Unghiurile corespunzătoare sunt egale: \( \angle A = \angle E, \angle B = \angle B, \angle C = \angle F \).
2. Teorema lui Thales
Teorema lui Thales este un caz special al teoremei asemănării și afirmă că:
Dacă o dreaptă paralelă unei laturi a unui triunghi intersectează celelalte două laturi, atunci împarte aceste laturi în segmente proporționale.
În triunghiul \( \triangle ABC \), dacă \( EF \parallel AC \), atunci:
- \( \frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC} \).
Exerciții
1
În triunghiul \( \triangle ABC \), unghiul \( \angle BAC \) este congruent cu unghiul \( \angle EDF \), iar laturile \( AB = 8 \, \text{cm} \), \( AC = 6 \, \text{cm} \), \( DE = 4 \, \text{cm} \). Determinați lungimea laturii \( DF \), știind că \( \triangle ABC \sim \triangle EDF \).
2
În \( \triangle XYZ \), unghiurile sunt \( \angle X = 60^\circ \), \( \angle Y = 50^\circ \), \( \angle Z = 70^\circ \). Dacă \( \triangle XYZ \sim \triangle ABC \) și latura \( AB = 15 \, \text{cm} \), calculați lungimile laturilor \( BC \) și \( CA \), știind că \( XY = 10 \, \text{cm} \).
3
Demonstrați că triunghiurile \( \triangle DEF \) și \( \triangle XYZ \) sunt asemănătoare dacă laturile lor sunt proporționale astfel: \( \frac{DE}{XY} = \frac{EF}{YZ} = \frac{DF}{XZ} = 2 \).
4
În triunghiul \( \triangle ABC \), \( DE \parallel BC \), iar segmentele sunt \( AD = 4 \, \text{cm}, DB = 6 \, \text{cm}, AE = 5 \, \text{cm} \). Calculați lungimea laturii \( EC \), folosind teorema lui Thales.
5
În \( \triangle ABC \), unghiul \( \angle A \) este comun cu unghiul \( \angle D \) al unui alt triunghi \( \triangle DEF \). Dacă \( AB = 12 \, \text{cm}, AC = 9 \, \text{cm}, DE = 8 \, \text{cm} \), calculați lungimea laturii \( DF \).
6
Într-un triunghi dreptunghic \( \triangle ABC \), unghiul \( \angle C \) este drept, iar \( AD \) este înălțimea trasată din \( A \). Demonstrați că triunghiurile \( \triangle ABC \), \( \triangle ABD \) și \( \triangle ACD \) sunt asemănătoare între ele.
7
Într-un triunghi isoscel \( \triangle ABC \), \( AB = AC = 10 \, \text{cm} \), iar baza \( BC = 12 \, \text{cm} \). Se trasează o paralelă la baza \( BC \), astfel încât să împartă triunghiul în două triunghiuri asemănătoare. Calculați lungimea laturilor triunghiului mic.
8
În triunghiul \( \triangle ABC \), \( AB = 6 \, \text{cm}, AC = 9 \, \text{cm}, BC = 12 \, \text{cm} \). Determinați dacă triunghiul \( \triangle ABC \) este asemănător cu un triunghi \( \triangle DEF \), unde \( DE = 3 \, \text{cm}, DF = 4.5 \, \text{cm}, EF = 6 \, \text{cm} \).
9
În \( \triangle ABC \), unghiul \( \angle A = 40^\circ \), \( \angle B = 60^\circ \), iar \( AB = 8 \, \text{cm} \). Dacă un alt triunghi \( \triangle DEF \) este asemenea cu \( \triangle ABC \) și \( DE = 4 \, \text{cm} \), determinați lungimile laturilor \( EF \) și \( DF \).
10
În triunghiul \( \triangle ABC \), \( AB = 5 \, \text{cm}, AC = 7 \, \text{cm}, BC = 9 \, \text{cm} \). Se cunoaște că o paralelă trasată prin mijlocul laturii \( AC \) intersectează latura \( AB \) în punctul \( D \) și latura \( BC \) în punctul \( E \). Calculați lungimile segmentelor \( DE \).