Item 12 - exercitii de exersare

Exerciții

Fie funcția \( f: R \rightarrow R, f(x)=a x+a^{2}-1 \). Determinați valorile reale ale lui \( a \), pentru care graficul funcției \( f \) trece prin punctul \( A(1 ; 1) \), iar funcția \( f \) este strict descrescătoare.

Să se determine funcția de gradul al doilea, al cărei grafic are vârful \( V(1 ; 2) \) și intersectează axa \( O_{y} \) în punctul cu ordonata -3.

Fie funcțiile \( f, g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=x-3 \) și \( g(x)=2x+5a-21 \). Determinați valorile reale ale lui \( a \), pentru care punctul de intersecție al graficelor funcțiilor \( f \) și \( g \) aparține axei \( O_{x} \).

Să se afle valorile parametrului real \( m \), pentru care ecuația \( (5-m)x^{2}-2(m+1)x+1=0 \) are două soluții reale distincte.

Fie funcțiile \( f, g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=x^{2}-4x+m, g(x)=3x-7 \). Determinați valorile reale ale lui \( m \), pentru care vârful parabolei, ce reprezintă graficul funcției \( f \), aparține graficului funcției \( g \).

Să se determine funcția de gradul al doilea, știind că parabola care este reprezentarea grafică a funcției are vârful \( V(3 ;-6) \) și trece prin punctul \( A(1 ;-2) \).

Să se determine funcția de gradul al doilea care are zerourile \( x_{1}=-3, x_{2}=2 \) și graficul căreia intersectează axa \( O_{y} \) în punctul cu ordonata \( y=-6 \).

Fie funcțiile \( f, g: R \rightarrow R, f(x)=x-2, g(x)=2x+a-1 \). Determinați valorile reale ale lui \( a \), pentru care punctul de intersecție al graficelor funcțiilor \( f \) și \( g \) aparține axei \( O_{x} \).

Să se afle numerele reale \( a, b, c \), știind că punctul \( A(-1 ;-7) \) este vârful parabolei care este reprezentarea grafică a funcţiei \( f: R \rightarrow R, f(x)=a x^{2}+b x+c \), şi graficul funcţiei intersectează axa \( O_{y} \) în punctul \( N(0 ;-4) \).

Fie funcțiile \( f, g: R \rightarrow R, f(x)=x^{2}-2 x+m \) și \( g(x)=x \). Determinați valorile reale ale lui \( m \), pentru care vârful parabolei, ce reprezintă graficul funcției \( f \), aparține graficului funcției \( g \).

Determinați cel mai mare număr întreg \( m \), pentru care \( 2x^2 - 5x + 1 \geq m \), pentru orice \( x \in R \).

Fie funcția \( f : R \to R, \, f(x) = x^2 + mx + n \). Să se determine valorile reale ale lui \( m \) și \( n \), pentru care punctul \( V(2; -1) \) este vârful parabolei ce reprezintă graficul funcției \( f \).

Să se afle valorile parametrului real \( m \), pentru care o soluție a ecuației \( x^2 + mx + 27 = 0 \) este pătratul celeilalte soluții.

Să se determine funcția \( f : R \to R, \, f(x) = ax^2 + bx + c \), știind că parabola ce este reprezentarea grafică a funcției \( f \) are vârful \( V(-2; -16) \) și trece prin punctul \( A(1; -7) \).

Fie funcția \( f : R \to R, \, f(x) = x^2 + mx + n \). Să se determine valorile reale ale lui \( m \) și \( n \), pentru care punctul \( A(-1; 2) \) este vârful parabolei ce reprezintă graficul funcției \( f \).

Să se afle cea mai mică valoare întreagă a parametrului real \( a \), pentru care ecuația \( x^2 - 2(a + 2)x + 12 + a^2 = 0 \) are două soluții reale distincte.

Fie funcția \( f : R \to R, \, f(x) = (m - 1)x + m^2 \). Determinați valorile reale ale lui \( m \), pentru care graficul funcției \( f \) intersectează axa \( O_y \) într-un punct cu ordonata egală cu \( 9 \), și formează cu axa \( O_x \) un unghi obtuz.

Fie funcția \( f : R \to R, \, f(x) = (a - 3)x + a - 5 \). Să se afle \( a \in R \), pentru care graficul funcției \( f \) trece prin punctul \( A(a; 3) \), iar panta dreptei care este reprezentarea grafica a funcției \( f \) este pozitivă.

Fie funcțiile \( f, g : R \to R, \, f(x) = x^2 + 2mx + m^2 \), \( g(x) = 2x \). Determinați valorile reale ale lui \( m \), pentru care graficele funcțiilor \( f \) și \( g \) se intersectează într-un singur punct.

Se consideră ecuația \( x^2 - mx + 10 = 0 \). Să se afle \( m \), știind că soluțiile \( x_1 \) și \( x_2 \) ale ecuației verifică relația \( x_2 - x_1 = 3 \).

Fie funcția \( f : R \to R, \, f(x) = mx^2 + 4x + m^2 - m \). Determinați valorile reale ale lui \( m \), pentru care graficul funcției \( f \) trece prin punctul \( A(-1; 5) \) și funcția \( f \) are un punct de maxim.

Să se determine valorile parametrului real \( a \), pentru care ecuația \( (2a - 5)x^2 - 2(a - 1)x + 3 = 0 \) are două soluții reale egale.

Să se determine \( a \in R \), pentru care funcția \( f : R \to R, \, f(x) = ax + a^2 - 5 \) este strict descrescătoare pe \( R \), iar graficul funcției trece prin punctul \( A(1; 7) \).

Fie funcția \( f : R \to R, \, f(x) = 2ax - 3a - 2 \). Să se determine \( a \in R \), pentru care graficul funcției \( f \) intersectează axa \( O_x \) în punctul de abscisă \( x=a \), și funcția \( f \) este strict crescătoare pe \( R \).

Fie funcțiile \( f, g : R \to R, f(x) = x^2 + 2mx + m^2 \), \( g(x) = 2x \). Determinați valorile reale ale lui \( m \), pentru care graficele funcțiilor \( f \) și \( g \) se intersectează într-un singur punct.

Să se determine funcția de gradul întâi, graficul căreia are panta \( 2 \) și trece prin punctul \( A(1; -3) \).

Determinați valorile parametrului real \( a \), pentru care graficele funcțiilor \( f, g : R \to R, \, f(x) = x^2 - 2x + a - 1, g(x) = 2x + 3 \) au două puncte distincte comune.

Fie funcția \( f : R \to R, \, f(x) = -x^2 + 2mx - m^2 + m - 1 \). Determinați valorile reale ale lui \( m \), pentru care valoarea maximă a funcției \( f \) este egală cu \( 3 \).

Să se determine valorile parametrului real \( a \), pentru care graficele funcțiilor \( f, g : R \to R, \, f(x) = 2ax + 1 \) și \( g(x) = (a - 6)x^2 - 2 \) nu se intersectează.

Fie funcția \( f : R \to R, \, f(x) = x^2 + 2x + a \). Determinați parametrul \( a \in R \), știind că distanța de vârful parabolei asociate funcției \( f \) la axa \( O_x \) este egală cu \( 1 \).

Să se afle valorile parametrului real \( m \), pentru care pătratul diferenței soluțiilor ecuației \( x^2 - 2x + m = 0 \) este egal cu \( 36 \).

Fie funcțiile \( f, g : R \to R, \, f(x) = x^2 - 2x + m \) și \( g(x) = x \). Determinați valorile reale ale lui \( m \), pentru care vârful parabolei, ce reprezintă graficul funcției \( f \), aparține graficului funcției \( g \).

Să se determine parametrul \( a \in R \), astfel încât soluțiile \( x_1 \), \( x_2 \) ale ecuației \( x^2 - x - a = 0 \) să verifice relația \( x_1^2 + x_2^2 = 5 \).

Se consideră ecuația \( x^2 - 2x + m = 0, m \in R \), care are soluțiile \( x_1 \), \( x_2 \). Știind că \( |x_1 - x_2| = 1 \), să se determine \( m \).

Se consideră funcția \( f: R \to R, f(x) = x^2 - mx + m \). Determinați \( m \in R \), astfel încât valoarea minimă a funcției \( f \) să fie egală cu 1.

Să se determine parametrii reali \( a \) și \( b \), pentru care parabola care reprezintă graficul funcției \( f: R \to R, f(x) = x^2 + ax + b \) are vârful în punctul \( V(1; -1) \).

Fie funcția \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, \, f(x) = mx^2 - 2\sqrt{3}x - 6, \, m \in \mathbb{R} \). Determinați \( m \), astfel încât graficul funcției \( f \) să fie sub axa \( O_x \).

Fie funcțiile \( f, g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, \, f(x) = x + 3 \, \text{și} \, g(x) = 2x - m + 4 \). Determinați valorile reale ale lui \( m \), pentru care punctul de intersecție al graficului funcției \( f \) cu axa ordonatelor aparține și graficului funcției \( g \).

Să se determine funcția \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, \, f(x) = x^2 + bx + c \), stiind ca parabola care este reprezentarea grafica a functiei f are vârful \( V(2; 3) \).

Fie funcția \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x) = x^2 + (2m + 1)x + m^2 - 3 \). Determinați valorile reale ale lui \( m \), pentru care valoarea minimă a funcției \( f \) să fie egală cu \(\displaystyle -\frac{1}{4} \).

Să se determine \( m \in \mathbb{R} \), astfel încât ecuația \( mx^2 - 2(m + 1)x + m - 5 = 0 \) să aibă soluții reale.

Fie funcția \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x) = (m - 1)x + m^2 \). Determinați valorile reale ale lui \( m \), pentru care graficul funcției \( f \) intersectează axa \( O_y \) într-un punct cu ordonata egală cu \( 9 \) și formează cu axa \( O_x \) un unghi obtuz.

Determinați valorile parametrului real \( m \), pentru care graficul funcției \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=x^{2}+mx-2m \) intersectează axa \( O_{x} \) în două puncte distincte, situate la distanță 3.

Să se afle valorile parametrului real \( m \), pentru care funcția \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x) = mx^2 - 2(m + 1)x + m - 2 \) obține valori negative pentru orice \( x \in \mathbb{R} \).

Fie funcția \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x) = ax^2 + 4x + a, a \neq 0 \). Determinați valorile reale ale lui \( a \), pentru care funcția \( f \) are un singur zerou, iar graficul funcției \( f \) este o parabolă cu ramurile în jos.

Să se afle valorile parametrului real \( m \), pentru care ecuația \( (5 - m)x^2 - 2(m + 1)x + 1 = 0 \) are soluții reale.

Determinați valorile parametrului real \( m \), știind că parabola asociată funcției \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x) = x^2 + mx - 2m \) este situată deasupra axei \( O_x \).

Se consideră ecuația \( mx^2 - 2(m - 2)x - 10 - m = 0, m \neq 0 \), cu soluțiile \( x_1, x_2 \). Să se afle \( m \in \mathbb{R}, \) astfel încât să avem relația \( 2x_1x_2 + 3(x_1 + x_2) = -4. \)

Fie funcția \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = x^2 + px + q. \) Să se determine valorile reale ale lui \( p \text{ și } q \), astfel încât punctul \( V(-1; 2) \) să fie vârful parabolei care reprezintă graficul funcției \( f. \)

Se consideră funcția \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = mx^2 - 2mx + m - 1, m \in \mathbb{R}^*. \) Determinați \( m \) astfel încât \( f(x) \leq 0 \) pentru orice \( x \in \mathbb{R}. \)

Să se afle valorile parametrului real \( m, \) pentru care suma pătratelor soluțiilor ecuației \( x^2 + (m - 1)x + m^2 - 1,5 = 0 \) este maximă.

Fie funcția \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x) = mx^2 + x + m^2 - 1, m \neq 0 \). Determinați valorile reale ale lui \( m \), pentru care graficul funcției \( f \) este o parabolă cu ramurile în jos, ce trece prin originea sistemului de coordonate.

Fie ecuația \( 2x^2 - (m + 1)x + m + 2 = 0 \). Să se afle valoarea parametrului real \( m \), pentru care \(\displaystyle \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{3}{2} \), unde \( x_1, x_2 \) sunt soluțiile ecuației date.

Fie funcția \( f : R \to R \), \( f(x) = x^2 + 2ax + a^2 - a \). Determinați valorile reale ale lui \( a \), pentru care \( f(x) > 0 \), pentru orice \( x \in R \).

Să se determine valoarea parametrului real \( a \), pentru care funcția \( f : R \to R \), \( f(x) = (a - 1)x^2 + ax + a + 1 \) obține valori pozitive pentru oricare \( x \in R \).

Să se afle valorile parametrului real \( a \), pentru care cea mai mare valoare a funcției \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x) = ax^2 + (a - 3)x + 1 \) este egală cu \( 4 \).

Fie funcția \( f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = mx + m^2 - 6, m \neq 0 \). Determinați valorile reale ale lui \( m \), pentru care \( x = 1 \) este zerou al funcției \( f \) și funcția \( f \) este monoton crescătoare.

Fie funcția \( f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = x^2 + px + q \). Să se determine valorile reale ale lui \( p \) și \( q \), pentru care punctul \( A(-1; 2) \) este vârful parabolei ce reprezintă graficul funcției \( f \).

Fie funcția \( f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = x^2 + px + q \). Să se determine valorile reale ale lui \( p \) și \( q \), pentru care punctul \( A(-2; 2) \) aparține graficului funcției \( f \), iar \( x = -3 \) este zerou al funcției \( f \).

Fie funcția \( f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = -x^2 + 2mx - (m - 2)^2 \). Determinați valorile reale ale lui \( m \), pentru care funcția \( f \) are cel puțin un zerou.

Fie funcția \( f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = x^2 - 2m^2x + m - 2 \). Determinați valorile reale ale lui \( m \), pentru care graficul funcției \( f \) este o parabolă cu vârful în punctul cu coordonatele \( (1, -2) \).

Fie funcția \( f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = 4x^2 + 4mx + m^2 + m \). Determinați valorile reale ale lui \( m \), pentru care vârful parabolei, ce reprezintă graficul funcției \( f \), este situat strict deasupra axei absciselor.

Fie funcția \( f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = ax + a^2 - 9 \). Determinați valorile reale ale lui \( a \), pentru care graficul funcției \( f \) trece prin originea sistemului de coordonate și formează cu direcția pozitivă a axei absciselor un unghi obtuz.

Fie funcția \( f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = ax + a^2 - 2 \). Determinați valorile reale ale lui \( a \), pentru care \( x = 1 \) este zerou al funcției \( f \) și funcția este strict crescătoare pe \( \mathbb{R} \).

Fie funcția \( f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = ax + 10 - a^2 \). Determinați valorile reale ale lui \( a \), pentru care \( x = -3 \) este zerou al funcției \( f \), iar graficul funcției \( f \) intersectează axa \( 0y \) într-un punct de ordonată pozitivă.

Fie funcția \( f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = x^2 + (m^2 - 4)x + m^2 + 2m \). Determinați valorile reale ale lui \( m \), pentru care vârful parabolei, ce reprezintă graficul funcției \( f \), coincide cu originea sistemului cartezian de coordonate.

Fie funcția \( f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = mx^2 + 2x + 1, m \neq 0 \). Determinați valorile reale ale lui \( m \), astfel încât graficul funcției \( f \) să fie o parabolă cu ramurile în sus care intersectează axa absciselor în două puncte distincte.

Fie funcția \( f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = x^2 + 2mx + m^2 - 2m \). Determinați valorile reale ale lui \( m \), pentru care \( f(1) = 5 \), iar abscisa vârfului parabolei, ce reprezintă graficul funcției \( f \), este un număr pozitiv.

Fie funcția \( f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = x^2 + 2ax + a^2 - a \). Determinați valorile reale ale lui \( a \), pentru care \( f(x) > 0 \), pentru oricare \( x \in \mathbb{R} \).

Fie funcțiile \( f, g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = x - 2, g(x) = 2x + a - 1 \). Determinați valorile reale ale lui \( a \), pentru care punctul de intersecție al graficelor funcțiilor \( f \) și \( g \) aparține axei \( 0x \).

Fie funcția \( f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = x^2 + (2m + 1)x + m^2 - 3 \). Determinați valorile reale ale lui \( m \), pentru care valoarea minimă a funcției \( f \) este egală cu \(\displaystyle -\frac{1}{4} \).

Fie funcția \( f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = x^2 - 2 \). Determinați valorile reale ale lui \( m \), pentru care punctul \( A(m; 1) \) aparține graficului funcției \( f \) și este situat în cadranul I.

Fie funcția \( f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = mx + m^2 + m - 4 \). Determinați valorile reale ale lui \( m \), pentru care graficul funcției \( f \) intersectează axa \( 0x \) în punctul de abscisă \( x = -1 \) și funcția \( f \) este strict descrescătoare pe \( \mathbb{R} \).

Fie funcția \( f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = mx^2 + 4x + m^2 - m \). Determinați valorile reale ale lui \( m \), pentru care graficul funcției \( f \) trece prin punctul \( A(-1; 5) \) și funcția \( f \) admite un punct de maxim.

Fie funcția \( f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = (m - 1)x + m^2 \). Determinați valorile reale ale lui \( m \), pentru care graficul funcției \( f \) intersectează axa \( 0y \) într-un punct cu ordonata egală cu \( 9 \) și formează cu axa \( 0x \) un unghi obtuz.

Fie funcțiile \( f, g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = x^2 - 2x + m, g(x) = x \). Determinați valorile reale ale lui \( m \), pentru care vârful parabolei, ce reprezintă graficul funcției \( f \), aparține graficului funcției \( g \).

Fie funcția \( f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = ax + 1 - a^2 \). Determinați valorile reale ale lui \( a \), pentru care graficul funcției \( f \) trece prin originea de coordonate, iar funcția \( f \) este strict descrescătoare.

Fie funcția \( f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = ax^2 + 4x + a, a \neq 0 \). Determinați valorile reale ale lui \( a \), pentru care funcția \( f \) are un singur zerou, iar graficul funcției \( f \) este o parabolă cu ramurile în jos.

Fie funcția \( f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = -x^2 + 2mx - m^2 + m - 1 \). Determinați valorile reale ale lui \( m \), pentru care valoarea maximă a funcției \( f \) este egală cu 3.

Fie funcțiile \( f, g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = x - m, g(x) = 2x - m - 3 \). Determinați valorile reale ale lui \( m \), pentru care punctul de intersecție al graficului funcției \( f \) cu axa absciselor aparține graficului funcției \( g \).

Fie funcțiile \( f, g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = x^2 + 2mx + m^2, g(x) = 2x \). Determinați valorile reale ale lui \( m \), pentru care graficele funcțiilor \( f \) și \( g \) se intersectează într-un singur punct.

Fie funcțiile \( f, g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = x + 3, g(x) = 2x - m + 4 \). Determinați valorile reale ale lui \( m \), pentru care punctul de intersecție a graficului funcției \( f \) cu axa ordonatelor aparține și graficului funcției \( g \).

Fie funcția \( f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = mx^2 + x + m^2 - 1, m \neq 0 \). Determinați valorile reale ale lui \( m \), pentru care graficul funcției \( f \) este o parabolă cu ramurile în jos, ce trece prin originea sistemului de coordonate.

Fie funcția \( f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = -mx + m^2, m \neq 0 \). Determinați valorile reale ale lui \( m \), pentru care funcția \( f \) este monoton crescătoare și graficul funcției \( f \) intersectează axa \( 0y \) într-un punct cu ordonata egală cu 4.

Răspunsuri

Cuprins

Exerciții

Răspunsuri