Piramida
Piramida este un corp geometric cu o bază poligonală și toate fețele laterale triunghiuri care se întâlnesc într-un punct comun numit vârf.
Piramida triunghiulară
Piramida triunghiulară are baza un triunghi. Proprietăți:
- Baza este un triunghi, iar muchiile laterale se întâlnesc în vârful piramidei.
- Apotema piramidei \((a_p)\) este înălțimea feței laterale.
- Aria laterală: \[ A_{lat} = \frac{P_{bază} \cdot a_p}{2} \]
- Aria totală: \[ A_{tot} = A_{lat} + A_{bază} \]
- Volumul: \[ V_{piramidă} = \frac{A_{bază} \cdot H}{3} \], unde \( H \) este înălțimea piramidei.
Piramida patrulateră
Piramida patrulateră are baza un patrulater (pătrat, dreptunghi, romb, etc.). Proprietăți:
- Baza este un patrulater, iar muchiile laterale se întâlnesc în vârful piramidei.
- Apotema piramidei \((a_p)\) este înălțimea feței laterale.
- Aria laterală: \[ A_{lat} = \frac{P_{bază} \cdot a_p}{2} \]
- Aria totală: \[ A_{tot} = A_{lat} + A_{bază} \]
- Volumul: \[ V_{piramidă} = \frac{A_{bază} \cdot H}{3} \], unde \( H \) este înălțimea piramidei.
Formule generale
- \( A_{lat} \): Aria laterală este determinată de perimetrul bazei și apotema piramidei.
- \( A_{tot} \): Aria totală este suma ariei laterale și a ariei bazei.
- \( V_{piramidă} \): Volumul piramidei depinde de aria bazei și înălțimea piramidei.
Piramidele pot avea diverse baze (triunghiulare, patrulatere, poligonale), dar regulile de calcul rămân similare, adaptate la forma bazei.
Exerciții
1
O piramidă triunghiulară are baza un triunghi echilateral cu latura de \( 6 \, \text{cm} \) și apotema bazei \( 3\sqrt{3} \, \text{cm} \). Înălțimea feței laterale este \( 8 \, \text{cm} \). Calculați:
- aria bazei
- aria laterală
- aria totală
- volumul piramidei dacă înălțimea piramidei este \( 9 \, \text{cm} \)
2
O piramidă triunghiulară regulată are baza cu perimetrul de \( 18 \, \text{cm} \) și înălțimea feței laterale \( 10 \, \text{cm} \). Calculați aria laterală.
3
Într-o piramidă triunghiulară regulată, baza este un triunghi echilateral cu latura \( 12 \, \text{cm} \). Înălțimea piramidei este \( 15 \, \text{cm} \). Calculați volumul piramidei.
4
O piramidă triunghiulară are baza cu aria de \( 36 \, \text{cm}^2 \) și înălțimea piramidei \( 12 \, \text{cm} \). Calculați volumul piramidei.
5
O piramidă triunghiulară are baza cu perimetrul \( 24 \, \text{cm} \), iar apotema piramidei este \( 10 \, \text{cm} \). Calculați aria laterală a piramidei.
6
O piramidă patrulateră regulată are baza un pătrat cu latura de \( 8 \, \text{cm} \) și apotema feței laterale de \( 10 \, \text{cm} \). Calculați:
- aria bazei
- aria laterală
- aria totală
- volumul piramidei dacă înălțimea piramidei este \( 12 \, \text{cm} \)
7
Într-o piramidă patrulateră regulată, baza este un pătrat cu diagonala de \( 10 \, \text{cm} \). Apotema piramidei este \( 13 \, \text{cm} \). Calculați aria laterală.
8
O piramidă patrulateră regulată are baza un pătrat cu aria \( 25 \, \text{cm}^2 \) și înălțimea piramidei \( 10 \, \text{cm} \). Calculați volumul piramidei.
9
O piramidă patrulateră regulată are baza un pătrat cu latura \( 6 \, \text{cm} \) și apotema bazei \( 5 \, \text{cm} \). Înălțimea piramidei este \( 8 \, \text{cm} \). Calculați volumul piramidei.
10
O piramidă patrulateră regulată are baza un pătrat cu perimetrul \( 40 \, \text{cm} \) și apotema piramidei \( 15 \, \text{cm} \). Calculați aria totală a piramidei.