Simplificarea raportului algebric
Pași pentru simplificare
- Calcularea Domeniului de Valabilitate (DVA): Înainte de simplificare, determinăm DVA-ul dacă acesta nu este specificat în condiția problemei.
- Decomponerea în factori: Numeratorul și numitorul se descompun folosind:
- Formule de tip \( \displaystyle a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) \).
- Scoaterea factorului comun în fața parantezelor.
- Simplificarea: Simplificarea se realizează doar pentru factori comuni între numeratori și numitori care sunt înmulțiți, nu adunați sau scăzuți.
Exemplu
Simplificați raportul:
\[ \frac{x^2 - 4}{x^2 + 8x + 12} \]Rezolvare:
- Calculăm DVA:
Numitorul trebuie diferit de zero:
\[ x^2 + 8x + 12 \neq 0 \] Rezolvăm ecuația: \[ \Delta = b^2 - 4ac = 64 - 48 = 16, \quad x_1 = -6, \quad x_2 = -2 \] DVA: \( \displaystyle R \setminus \{-6, -2\} \) - Descompunerea în factori:
Numeratorul: \( \displaystyle x^2 - 4 = (x-2)(x+2) \)
Numitorul: \( \displaystyle x^2 + 8x + 12 = (x+6)(x+2) \)
- Simplificarea: \[ \frac{x^2 - 4}{x^2 + 8x + 12} = \frac{(x-2)(x+2)}{(x+6)(x+2)} = \frac{x-2}{x+6} \]
Răspuns final:
\(\displaystyle \frac{x-2}{x+6} \)Exerciții
1
\( \displaystyle \frac{x^2 - 9}{x^2 + 6x + 9} \)
2
\( \displaystyle \frac{x^2 + 4x}{x^2 + 6x + 8} \)
3
\( \displaystyle \frac{x^3 - x}{x^2 - 1} \)
4
\( \displaystyle \frac{4x^2 - 16}{2x^2 + 8x} \)
5
\( \displaystyle \frac{x^2 - 25}{x^2 + 5x} \)
6
\( \displaystyle \frac{x^2 + 10x + 25}{x^2 + 6x + 5} \)
7
\( \displaystyle \frac{x^2 - 4}{x^2 - 2x - 8} \)
8
\( \displaystyle \frac{2x^2 + 6x}{x^2 - 9} \)
9
\( \displaystyle \frac{x^2 + 2x - 8}{x^2 - 4} \)
10
\( \displaystyle \frac{x^3 - 8}{x^2 + 2x + 4} \)
11
\( \displaystyle \frac{x^2 - 16}{4x^2 - 20x + 25} \)
12
\( \displaystyle \frac{x^2 - 1}{x^2 + 2x + 1} \)