Funcția de gradul 2 - Proprietăți

Funcția de gradul 2 are forma generală:

\( f(x) = ax^2 + bx + c \), cu \( a \neq 0 \).

1. Orientarea ramurilor parabolei

Direcția ramurilor parabolei este determinată de coeficientul \( a \):

• Dacă \( a > 0 \), parabola are ramurile orientate în sus (\(\cup\)).
• Dacă \( a < 0 \), parabola are ramurile orientate în jos (\(\cap\)).

2. Discriminantul \(\Delta\)

Discriminantul determină numărul de rădăcini ale funcției:

• \( \Delta > 0 \): Funcția are două zerouri reale distincte.
• \( \Delta = 0 \): Funcția are un singur zero real (dublu).
• \( \Delta < 0 \): Funcția nu are zerouri reale.

3. Punctele de intersecție cu axele

Intersecția cu axa Ox: Se rezolvă ecuația \( f(x) = 0 \). Zerourile determină punctele de intersecție. Intersecția cu axa Oy: Este dată de termenul liber \( c \), deci punctul de intersecție este \( (0, c) \).

4. Semnul funcției

Semnul funcției se determină prin rezolvarea inegalităților \( f(x) > 0 \) sau \( f(x) < 0 \). Din grafic:

• Dacă \( y_f \) este deasupra axei Ox, atunci \( f(x) > 0 \).
• Dacă \( y_f \) este sub axa Ox, atunci \( f(x) < 0 \).

5. Extrema (valori maxime/minime)

Coordonatele vârfului parabolei sunt:

\[ x_v = -\frac{b}{2a}, \quad y_v = f(x_v) \]

• Dacă \( a > 0 \), funcția are o valoare minimă egală cu \( y_v \).
• Dacă \( a < 0 \), funcția are o valoare maximă egală cu \( y_v \).

Acestea sunt principalele proprietăți grafice ale funcției de gradul 2.