Paralelogram
Definiție
Un paralelogram este un patrulater convex care are două perechi de laturi opuse paralele.
Proprietăți
- Are două perechi de laturi paralele și egale:
- Unghiurile opuse sunt egale, dar nu sunt neapărat drepte:
- Înălțimile unui paralelogram sunt egale, iar segmentele în care diagonalele împart paralelogramul sunt egale:
- Diagonalele nu sunt egale:
\[AB \parallel CD \, \text{și} \, AB = CD\]
\[BC \parallel AD \, \text{și} \, BC = AD\]
\[m(\angle A) = m(\angle C) \, \text{și} \, m(\angle B) = m(\angle D)\]
Înălțimile: \[h = \text{distanța dintre două laturi opuse}\]
Segmentele diagonale sunt egale doar dacă paralelogramul este un romb.
\[AC \neq BD\]
Formula ariei
Aria unui paralelogram se calculează folosind formula:
\[A = b \cdot h\]
unde:
- \(b\) reprezintă baza
- \(h\) reprezintă înălțimea corespunzătoare bazei
Exerciții
1
Lungimea unei laturi a unui paralelogram este de \(10 \, \text{cm}\), iar înălțimea corespunzătoare acestei laturi este de \(6 \, \text{cm}\). Determinați aria paralelogramului.
2
Într-un paralelogram, baza este de \(12 \, \text{cm}\), iar aria este de \(96 \, \text{cm}^2\). Determinați înălțimea corespunzătoare bazei.
3
Diagonalele unui paralelogram sunt \([AC] = 10 \, \text{cm}\) și \([BD] = 8 \, \text{cm}\). Verificați dacă diagonalele sunt egale.
4
Într-un paralelogram, baza este \(15 \, \text{cm}\), iar înălțimea corespunzătoare este jumătate din baza. Determinați aria paralelogramului.
5
Determinați perimetrul unui paralelogram cu laturile de \(8 \, \text{cm}\) și \(12 \, \text{cm}\).
6
Într-un paralelogram, unghiurile opuse sunt \(\angle A = 70^\circ\) și \(\angle C = 70^\circ\). Determinați măsura celorlalte două unghiuri.
7
Aria unui paralelogram este \(150 \, \text{cm}^2\), iar înălțimea sa este de \(10 \, \text{cm}\). Determinați lungimea bazei.
8
Într-un paralelogram, două laturi opuse sunt paralele și egale cu \(18 \, \text{cm}\). Aria sa este \(144 \, \text{cm}^2\). Determinați înălțimea corespunzătoare bazei.
9
Laturile unui paralelogram sunt \(20 \, \text{cm}\) și \(15 \, \text{cm}\). Verificați dacă diagonalele acestuia pot fi egale.
10
Într-un paralelogram, diagonalele împart figura în patru triunghiuri cu arii egale. Justificați această proprietate folosind geometria.