Ecuații de gradul 1

O ecuație de gradul I are forma generală \( ax + b = 0 \), unde \( a \neq 0 \) și \( x \) este necunoscuta. Scopul este de a determina valoarea lui \( x \) astfel încât ecuația să fie adevărată.

Desfacerea Parantezelor

1. Un singur factor în fața parantezei

Când avem un factor multiplicativ în fața unei paranteze, acesta se înmulțește cu fiecare termen din interiorul parantezei.

Formula generală:

\(\displaystyle a(b+c) = a \cdot b + a \cdot c\)

Exemple:

  • \(\displaystyle 3(x+4) = 3 \cdot x + 3 \cdot 4 = 3x + 12\)
  • \(\displaystyle -2(5-y) = -2 \cdot 5 + (-2) \cdot (-y) = -10 + 2y\)
  • \(\displaystyle \frac{1}{2}(4x-8) = \frac{1}{2} \cdot 4x + \frac{1}{2} \cdot (-8) = 2x - 4\)

2. Produsul a două paranteze

Când înmulțim două paranteze, fiecare termen din prima paranteză se înmulțește cu fiecare termen din a doua paranteză.

Formula generală:

\(\displaystyle (a+b)(c+d) = a \cdot c + a \cdot d + b \cdot c + b \cdot d\)

Exemple:

  • \(\displaystyle (x+3)(x+5) = x \cdot x + x \cdot 5 + 3 \cdot x + 3 \cdot 5 = x^2 + 5x + 3x + 15 = x^2 + 8x + 15\)
  • \(\displaystyle (2x-4)(x+7) = 2x \cdot x + 2x \cdot 7 + (-4) \cdot x + (-4) \cdot 7 = 2x^2 + 14x - 4x - 28 = 2x^2 + 10x - 28\)
  • \(\displaystyle (3x+2)(x-1) = 3x \cdot x + 3x \cdot (-1) + 2 \cdot x + 2 \cdot (-1) = 3x^2 - 3x + 2x - 2 = 3x^2 - x - 2\)

Observații importante:

  • În cazul unui factor în fața parantezei, distribuiți factorul doar în interiorul parantezei respective.
  • În cazul produsului a două paranteze, fiecare termen din prima paranteză se înmulțește cu fiecare termen din a doua paranteză.
  • Nu uitați să adunați termenii asemenea la final!

Exemplu de rezolvare

Rezolvați în \( \mathbb{R} \) ecuația:

\( 3(x - 5) + 7 = 2 - 4(2x + 1) \)

Pașii rezolvării:

  1. Deschidem parantezele:

    2. \( 3(x - 5) + 7 = 2 - 4(2x + 1) \)

    \( 3x - 15 + 7 = 2 - 8x - 4 \)

  2. Termenii cu \( x \) îi scriem în stânga, iar termenii fără \( x \) îi scriem în dreapta:

    3. \( 3x + 8x = 2 - 4 + 15 - 7 \)

  3. Adunăm termenii asemenea:

    4. \( 11x = 6 \)

  4. Împărțim numărul din dreapta la coeficientul din fața lui \( x \):

    5. \( x = \frac{6}{11} \)

  5. Scriem soluția:

    6. \( S = \left\{ \frac{6}{11} \right\} \)

Algoritmul de rezolvare

  1. Deschidem parantezele, dacă există.
  2. Termenii cu \( x \) îi scriem în stânga, termenii fără \( x \) îi scriem în dreapta. Se schimba semnul din fata fiecarui termen pe care il mutam.
  3. Adunăm termenii asemenea (cei cu \( x \) și cei constanți). Partea literala ramane neschimbata si se aduna numai coeficientul din fata.
  4. Împărțim termenul din dreapta la coeficientul lui \( x \).
  5. Scriem soluția finală.

Transformarea coeficienților cu virgulă sau fracție în coeficienți întregi

În cazul în care ecuația conține coeficienți cu virgulă sau fracții, putem transforma coeficienții în coeficienți întregi pentru a simplifica calculul.

Exemplu:

Rezolvați ecuația:

\( 0.5x + 0.2 = 1.1 \)

Pașii rezolvării:

  1. Scăpăm de zecimale prin înmulțirea întregii ecuații cu 10 (sau o putere de 10, în funcție de numărul de zecimale):

    2. \( 0.5x + 0.2 = 1.1 \quad | \cdot 10 \)

    \( 5x + 2 = 11 \)

  2. Rezolvăm ecuația ca pe una obișnuită:

    3. \( 5x = 11 - 2 \)

    \( 5x = 9 \)

    \( x = \frac{9}{5} \)

  3. Scriem soluția:

    4. \( S = \left\{ \frac{9}{5} \right\} \)

Exemplu cu fracții:

Rezolvați ecuația:

\( \frac{1}{2}x + \frac{1}{3} = \frac{5}{6} \)

Pașii rezolvării:

  1. Eliminăm fracțiile prin înmulțirea întregii ecuații cu cel mai mic multiplu comun al numitorilor:

    2. Cel mai mic multiplu comun al 2, 3 și 6 este 6.

    \( \frac{1}{2}x + \frac{1}{3} = \frac{5}{6} \quad | \cdot 6 \)

    \( 3x + 2 = 5 \)

  2. Rezolvăm ecuația:

    3. \( 3x = 5 - 2 \)

    \( 3x = 3 \)

    \( x = 1 \)

  3. Scriem soluția:

    4. \( S = \{ 1 \} \)

Exerciții

1
\(\displaystyle 5(2x-1) + 3x = 4(6+x) - 1\)
2
\(\displaystyle 5x - 3(x-2) = -4(x+1) + 5\)
3
\(\displaystyle 5(4x-1) + 3(6x-4) = 15\)
4
\(\displaystyle 2(3x-1) + 4(1-2x) = 10\)
5
\(\displaystyle (x-4)(x+5) = (x+8)(x+2)\)
6
\(\displaystyle (x+3)(x-1) = (x+5)(x-2)\)
7
\(\displaystyle \frac{2x-3}{7} = \frac{4x+1}{3}\)
8
\(\displaystyle \frac{x-4}{5} = \frac{x+1}{3}\)
9
\(\displaystyle \frac{5x+2}{3} = \frac{3x-1}{6}\)
10
\(\displaystyle \frac{5x-7}{11} = \frac{2x+3}{5}\)
11
\(3x - 7 = 9 - 5x\)
12
\(7x + 14 - 5x = 2 + 6x + 2x\)
13
\(5(2x - 3) - 4(5x - 7) = 19 - 2(x + 11)\)
14
\(17 - 14(x + 1) = 13 - 4(x + 1) - 5(x - 3)\)
15
\(5x + 2{,}5 + 4x - 3 = 8x - 4(x - 3{,}5)\)
16
\(-6(3x - 2) + 9x = 5x + 3(2x - 3)\)
17
\(x - 3\sqrt{2} - 1 = 2x + 1\)
18
\(3(x + \sqrt{3}) - 2 = 2x(1 + \sqrt{3})\)
19
\(\displaystyle x + 1 - \frac{3}{2}x = 2 - \frac{1}{2}x - \frac{1}{2}\)
20
\(\displaystyle \frac{x + 5}{4} - \frac{x - 3}{6} = \frac{x}{3}\)
21
\(\displaystyle x - \frac{x + 1}{3} = \frac{2x + 1}{5}\)
22
\(\displaystyle \frac{x}{5} + \frac{3x - 1}{6} + \frac{3 - x}{4} = 0\)
23
\(\displaystyle \frac{2x - 7}{9} - \frac{x - 5}{6} = \frac{x - 9}{8}\)

Răspunsuri

Rezolvări

Înapoi Următor