Cercul

1. Ce este cercul?

Cercul este mulțimea tuturor punctelor dintr-un plan aflate la aceeași distanță de un punct fix, numit centru. Distanța constantă de la centru la orice punct de pe cerc se numește raza.

2. Diametrul și coarda

  • Diametrul: Este cea mai lungă coardă a cercului și trece prin centru. Este egal cu \(2 \cdot r\), unde \(r\) este raza cercului.
  • Coarda: Este un segment care unește două puncte de pe cerc, dar care nu trece neapărat prin centru.

3. Constanta \(\pi\)

Numărul \(\pi\) este o constantă matematică definită ca raportul dintre lungimea cercului și diametrul său, aproximativ egală cu \(3.14159\).

4. Lungimea cercului

Lungimea cercului se calculează cu formula:

\[ L = 2 \cdot \pi \cdot r \]

5. Aria cercului

Aria cercului este dată de formula:

\[ A = \pi \cdot r^2 \]

6. Triunghi dreptunghic înscris în cerc

Un triunghi dreptunghic poate fi înscris într-un cerc dacă ipotenuza sa este egală cu diametrul cercului.

7. Cercul înscris, circumscris și circumscriptibil

  • Cercul înscris: Este cercul care este tangent la toate laturile unui poligon (ex. triunghi).
  • Cercul circumscris: Este cercul care trece prin toate vârfurile unui poligon (ex. triunghi).
  • Cercul circumscriptibil: Un poligon este circumscriptibil dacă toate laturile sale sunt tangente la un cerc interior.

8. Dreapta și cercul

  • Dreaptă exterioară: Nu are niciun punct comun cu cercul.
  • Dreaptă tangentă: Are un singur punct comun cu cercul, numit punct de tangență.
  • Dreaptă secantă: Intersectează cercul în două puncte.

9. Puncte și cercul

  • Punct interior: Este un punct situat în interiorul cercului, la o distanță mai mică decât raza.
  • Punct exterior: Este un punct situat în afara cercului, la o distanță mai mare decât raza.

10. Tangenta la cerc

O dreaptă este tangentă la un cerc dacă are un singur punct comun cu acesta. Tangenta este perpendiculară pe raza trasă la punctul de tangență.

11. Teorema "cioc de cioară"

Dacă dintr-un punct exterior unui cerc se duc două tangente la cerc, atunci lungimile acestor tangente sunt egale.

\[ AB = AB^{'} \]

Exerciții

1
Determină lungimea cercului cu raza de \(5 \, \text{cm}\).
2
Aria unui cerc este \(78.5 \, \text{cm}^2\). Află raza cercului.
3
Un triunghi dreptunghic este înscris într-un cerc cu diametrul \(10 \, \text{cm}\). Află lungimile catetelor dacă ipotenuza este diametrul.
4
O coardă a unui cerc are lungimea de \(6 \, \text{cm}\) și distanța de la centru la coardă este \(2 \, \text{cm}\). Determină raza cercului.
5
Determină aria unui cerc cu diametrul \(14 \, \text{cm}\).
6
Două tangente la un cerc sunt trase dintr-un punct exterior. Dacă lungimea uneia dintre tangente este \(8 \, \text{cm}\), află lungimea celeilalte tangente.
7
O dreaptă intersectează un cerc în două puncte, \(A\) și \(B\). Lungimea segmentului \(AB\) este \(12 \, \text{cm}\), iar distanța de la centrul cercului la dreaptă este \(5 \, \text{cm}\). Află raza cercului.
8
Un punct se află la \(10 \, \text{cm}\) de centrul unui cerc cu raza de \(7 \, \text{cm}\). Este punctul interior, exterior sau pe cerc?
9
Cercul înscris într-un triunghi are raza de \(3 \, \text{cm}\). Calculați perimetrul triunghiului dacă aria este \(27 \, \text{cm}^2\).
10
Diametrul unui cerc este \(20 \, \text{cm}\). Determinați lungimea cercului folosind \(\pi \approx 3.14\).
11
O dreaptă este tangentă la un cerc cu raza de \(6 \, \text{cm}\) în punctul \(A\). Calculați lungimea segmentului dintre punctul de tangență și un punct exterior aflat la \(10 \, \text{cm}\) de centrul cercului.
12
Un cerc circumscris unui triunghi dreptunghic are raza de \(8 \, \text{cm}\). Determinați perimetrul triunghiului dreptunghic, știind că ipotenuza este diametrul cercului.
Înapoi Următor