Inecuatii cu functii de gradul 1

O inecuație cu funcții de gradul 1 are forma: \( \displaystyle f(x) > 0, \; f(x) \geq 0, \; f(x) < 0, \; f(x) \leq 0 \), unde \( \displaystyle f(x) \) este o funcție liniară de forma: \( \displaystyle f(x) = ax + b \), cu \( \displaystyle a, b \in \mathbb{R} \) și \( \displaystyle a \neq 0 \).

Pașii de rezolvare

1. Copiem expresia funcției în locul lui \( \displaystyle f(x) \):

De exemplu, pentru \( \displaystyle f(x) = 2x - 3 \), inecuația \( \displaystyle f(x) > 0 \) devine:

\( \displaystyle 2x - 3 > 0 \)
2. Rezolvăm inecuația rezultată:

Se aplică metodele de rezolvare a inecuațiilor de gradul 1 pentru a găsi soluțiile.

\( \displaystyle 2x - 3 > 0 \implies x > \frac{3}{2} \)
3. Interpretăm soluția în funcție de semnul funcției:
• \( \displaystyle f(x) > 0 \): funcția este pozitivă, adică valorile lui \( \displaystyle f(x) \) sunt mai mari decât 0.
• \( \displaystyle f(x) < 0 \): funcția este negativă, adică valorile lui \( \displaystyle f(x) \) sunt mai mici decât 0.
• \( \displaystyle f(x) \geq 0 \): funcția este nenegativă, adică valorile lui \( \displaystyle f(x) \) sunt mai mari sau egale cu 0.
• \( \displaystyle f(x) \leq 0 \): funcția este nepozitivă, adică valorile lui \( \displaystyle f(x) \) sunt mai mici sau egale cu 0.

Reprezentarea soluțiilor pe axa numerelor

• Valorile lui \( \displaystyle x \) sunt reprezentate pe axa \( \displaystyle x \).
• Valorile funcției \( \displaystyle f(x) \) sunt reprezentate prin semnul funcției: pozitiv (\( \displaystyle > 0 \)) sau negativ (\( \displaystyle < 0 \)).

Exemplu:

Pentru \( \displaystyle f(x) = 2x - 3 \), rezolvăm inecuația \( \displaystyle f(x) > 0 \):

Pe axa numerelor, soluția este \( \displaystyle (\frac{3}{2}, +\infty) \).

Exemplu Rezolvat

Rezolvați inecuația \( \displaystyle f(x) = -x + 4 \leq 0 \):

1. Scriem inecuația: \( \displaystyle -x + 4 \leq 0 \).
2. Rezolvăm: \( \displaystyle -x \leq -4 \implies x \geq 4 \) (schimbăm semnul inegalității).
3. Soluția este: \( \displaystyle S = [4, +\infty) \).