Ecuații cu rapoarte algebrice

O ecuație rațională este o ecuație care implică fracții algebrice. Pentru a rezolva aceste ecuații, urmați pașii de mai jos:

Pași de rezolvare

Calculați DVA (Domeniul Valorilor Admise), adică determinați valorile pentru care numitorul fracțiilor este diferit de zero.
Descompuneți numitorii în factori, dacă este posibil.
Aduceți fracțiile la același numitor comun (dacă sunt mai multe fracții).
Puneți toate termenii sub aceeași fracție pe partea stângă și pe cea dreaptă.
Adunați sau scădeți fracțiile și aduceți ecuația la forma \( \displaystyle \frac{A}{B} = \frac{C}{D} \).
Scăpați de fracții prin înmulțirea pe diagonală (\( \displaystyle A \cdot D = B \cdot C \)).
Simplificați factorii comuni, dacă există.
Rezolvați ecuația rezultată (poate fi liniară sau de gradul al doilea).
Verificați dacă soluțiile obținute respectă DVA.
Scrieți soluția finală doar cu valorile care aparțin DVA.

Rezolvăm ecuația:

\[ \frac{x^2 + 12x + 20}{x+2} = \frac{x-6}{3}. \]

Calculăm \( \textbf{DVA} \): \[ x + 2 \neq 0 \implies x \neq -2. \] Așadar, \( \displaystyle DVA = \mathbb{R} \setminus \{-2\} \).
Observăm că numitorii sunt deja factori simpli: \( x+2 \) și 3.
Adusă la forma fracție = fracție: \[ \frac{x^2 + 12x + 20}{x+2} = \frac{x-6}{3}. \]
Scăpăm de fracții prin înmulțirea pe diagonală: \[ 3(x^2 + 12x + 20) = (x+2)(x-6). \]
Rezolvăm: \[ 3x^2 + 36x + 60 = x^2 - 6x + 2x - 12, \] \[ 3x^2 + 36x + 60 = x^2 - 4x - 12. \] Reducem termenii și obținem: \[ 2x^2 + 40x + 72 = 0 \quad \text{(împărțim prin 2)}, \] \[ x^2 + 20x + 36 = 0. \]
Calculăm discriminantul: \[ \Delta = 20^2 - 4 \cdot 1 \cdot 36 = 400 - 144 = 256 \implies \sqrt{\Delta} = 16. \]
Soluțiile sunt: \[ x_1 = \frac{-20 - 16}{2} = -18, \quad x_2 = \frac{-20 + 16}{2} = -2. \]
Verificăm soluțiile cu \( \displaystyle DVA \): \[ x_2 = -2 \notin DVA. \] Așadar, singura soluție admisă este \( \displaystyle x_1 = -18 \).

Soluția este:

\[ S = \{-18\}. \]