O inecuatie este o expresie matematică ce conține unul dintre simbolurile de comparație: \( \displaystyle \leq, \geq, <, > \), având forma generală: \( \displaystyle ax + b \, \text{relație} \, c \), unde \( \displaystyle a, b, c \) sunt numere reale, iar relația poate fi \( \displaystyle \leq, \geq, <, > \).

Algoritmul de rezolvare

1. Deschidem parantezele: Dacă există paranteze, se elimină prin aplicarea proprietăților distributive.
2. Sortăm termenii: Se scriu termenii cu \( \displaystyle x \) în stânga și ceilalți termeni în dreapta.
3. Adunăm sau scădem termenii asemenea: Reducem expresia la o formă simplă.
4. Împărțirea la un număr negativ: Dacă împărțim la un număr negativ, semnul inegalității se schimbă. Exemplu: \( \displaystyle -3x \leq 9 \implies x \geq -3 \)
5. Construcția axei numerelor: Se marchează valorile găsite și se indică soluția inecuației pe axă.
6. Notarea soluției și desenul axei:
   • \( \displaystyle \geq, \leq \) → cerc plin, interval închis \( \displaystyle [ \).
   • \( \displaystyle >, < \) → cerc gol, interval deschis \( \displaystyle ( \).
   • \( \displaystyle -\infty, +\infty \) → întotdeauna cu paranteze deschise \( \displaystyle ( \).
7. Hasurăm soluția:
   • \( \displaystyle \geq, > \): hasurăm partea dreaptă a axei.
   • \( \displaystyle \leq, < \): hasurăm partea stângă a axei.

Exemplu de rezolvare

Rezolvăm inecuația: \( \displaystyle 2(x-3) + 2 \leq 5x - 7 \)

1. Deschidem parantezele: \( \displaystyle 2x - 6 + 2 \leq 5x - 7 \)
2. Sortăm termenii: \( \displaystyle 2x - 5x \leq -7 + 6 - 2 \) \( \displaystyle -3x \leq -3 \)
3. Împărțim la \( \displaystyle -3 \) și schimbăm semnul inegalității: \( \displaystyle x \geq 1 \)
4. Reprezentăm soluția pe axa numerelor:
   • Punctul \( \displaystyle 1 \) este inclus (cerc plin).
   • Intervalul este \( \displaystyle [1, +\infty) \), hasurăm spre dreapta.
5. Soluția finală: \( \displaystyle S = [1, +\infty) \)

Reprezentarea pe axa numerelor

Simboluri și reguli pentru intervale

• \( \displaystyle \geq, \leq \): folosim paranteze pătrate \( \displaystyle [ \).
• \( \displaystyle >, < \): folosim paranteze rotunde \( \displaystyle ( \).
• \( \displaystyle -\infty \) și \( \displaystyle +\infty \): întotdeauna cu \( \displaystyle ( \).

Exemplu: \( \displaystyle S = (-\infty, a] \) sau \( \displaystyle S = (b, +\infty) \)

Exerciții