Item 11 - toate variantele posibile
Exerciții
1
2
Rezolvați în \( R \) ecuația \(\displaystyle \frac{2}{1-2x}+\frac{3}{2x+1}=\frac{4x^{2}-5}{4x^{2}-1} \)
3
a) Să se aducă la o formă mai simplă expresia \(\displaystyle E(X)=\left(\frac{1}{X+2}-\frac{1}{2-X}+\frac{2}{X^{2}-4}\right) \cdot \frac{X+2}{2} \)
b) Să se afle \( X \in \mathbb{N} \), pentru care \( E(X) \in \mathbb{N} \).
b) Să se afle \( X \in \mathbb{N} \), pentru care \( E(X) \in \mathbb{N} \).
4
Fie expresia \(\displaystyle E(X)=\frac{1}{X}+\frac{1}{X^{2}-X}-\frac{3-2X}{X-1} \)
Arătați că \( E(X)=2 \) pentru orice \( X \) din domeniul valorilor admisibile ale expresiei \( E(X) \)
Arătați că \( E(X)=2 \) pentru orice \( X \) din domeniul valorilor admisibile ale expresiei \( E(X) \)
5
Se consideră raportul \(\displaystyle E(X)=\frac{X^{3}+X^{2}-2X-2}{X^{3}-X^{2}-2X+2} \)
a) Să se simplifice raportul \( E(X) \);
b) Să se afle \( X \in \mathbb{Z} \), pentru care \( E(X) \in \mathbb{Z} \).
a) Să se simplifice raportul \( E(X) \);
b) Să se afle \( X \in \mathbb{Z} \), pentru care \( E(X) \in \mathbb{Z} \).
6
Să se afle \( X \in R \), pentru care rapoartele \(\displaystyle \frac{X+2}{X-2} \text{ și } \frac{X^{2}}{X^{2}-4} \) sunt egale.
7
8
Simplificați și scrieți expresia \(\displaystyle E(X)=\frac{X^{3}+2X^{2}+X}{X^{3}+X^{2}-X-1} \) sub formă de fracție algebrică ireductibilă pe mulțimea \( R \backslash\{-1; 1\} \).
9
Să se rezolve în \( R \) ecuația \(\displaystyle \frac{x+1}{x-3}+\frac{x-3}{x+1}+2=0 \)
10
Să se aducă la o formă mai simplă expresia \(\displaystyle E(X)=\left(\frac{X+2}{X^{2}-3 X}-\frac{X-2}{X^{2}+3 X}\right): \frac{25 X^{2}}{X^{2}-9} \)
11
Fie expresia \(\displaystyle E(x) = \left(\frac{3}{x} - 1\right) : \frac{x^2-9}{2x^2} + 2 \)
a) Aduceți expresia \( E(x) \) la forma cea mai simplă;
b) Determinați \( x \in R \), astfel încât \( E(x) > 0 \);
c) Calculați \( E\left(-\frac{1}{2}\right) \).
a) Aduceți expresia \( E(x) \) la forma cea mai simplă;
b) Determinați \( x \in R \), astfel încât \( E(x) > 0 \);
c) Calculați \( E\left(-\frac{1}{2}\right) \).
12
Determinați valorile lui \( x \in R \setminus \{-3; 3\} \), pentru care suma rapoartelor algebrice \(\displaystyle \frac{x^2 + 5x + 6}{x^2 - 9} \text{și} \frac{4x - 5}{x - 3} \) este egală cu \( 1 \).
13
Fie expresia \(\displaystyle E(X) = \left(\frac{2X}{X^2 - 4} - \frac{1}{X + 2}\right) : \frac{X}{6 - 3X} + \frac{3}{X} \)
Arătați că \( E(X) = 0 \), pentru orice \( X \in R \setminus \{-2; 0; 2\} \).
Arătați că \( E(X) = 0 \), pentru orice \( X \in R \setminus \{-2; 0; 2\} \).
14
15
Rezolvați în \( R \) ecuația \(\displaystyle \frac{2}{x^2 - 2x} - \frac{4}{x^2 + 2x} = \frac{1}{3x} \)
16
Se consideră raportul algebric \(\displaystyle F(X) = \frac{X^3 + X^2 - 5X - 5}{X^3 - X^2 - 5X + 5} \)
a) Aflați \( \text{DVA} \) al raportului \( F(X) \);
b) Simplificați raportul \( F(X) \);
c) Aflați \( x \in Z \), pentru care \( F(X) \in Z \).
a) Aflați \( \text{DVA} \) al raportului \( F(X) \);
b) Simplificați raportul \( F(X) \);
c) Aflați \( x \in Z \), pentru care \( F(X) \in Z \).
17
Se consideră expresia \(\displaystyle E(x) = \left(\frac{3}{x - 1} - \frac{x}{x^2-1} - \frac{2x + 6}{x^2 + 2x - 3}\right) : \frac{3}{x^2 - 1} \)
a) Determinați \( x \in R \) pentru care expresia \( E(x) \) are sens.
b) Arătați că \( E(x) \) este o constantă.
a) Determinați \( x \in R \) pentru care expresia \( E(x) \) are sens.
b) Arătați că \( E(x) \) este o constantă.
18
Fie expresia \(\displaystyle E(x) = \left( \frac{x}{x-2} - \frac{2}{x+2} - \frac{4x}{4-x^2} \right) \cdot \frac{x^2 + x - 6}{x^2 + 4x + 4} \)
a) Aduceți expresia \( E(x) \) la o formă mai simplă.
b) Aflați valorile lui \( x \in Z \), pentru care \( E(x) \in Z \).
a) Aduceți expresia \( E(x) \) la o formă mai simplă.
b) Aflați valorile lui \( x \in Z \), pentru care \( E(x) \in Z \).
19
Fie expresia \(\displaystyle E(x) = \left( \frac{3x - 1}{x - 1} - \frac{3x(2 - x) - 7}{1 - x^2} \right) : \frac{2}{x^2 - 1} \)
a) Aduceți expresia \( E(x) \) la forma cea mai simplă.
b) Rezolvați inecuația \( E(x) + 1 \leq x, \, x \in N \).
c) Determinați valorile lui \( x \in N^* \setminus \{1\} \), pentru care \(\displaystyle \frac{8}{E(x)} \in Z \).
a) Aduceți expresia \( E(x) \) la forma cea mai simplă.
b) Rezolvați inecuația \( E(x) + 1 \leq x, \, x \in N \).
c) Determinați valorile lui \( x \in N^* \setminus \{1\} \), pentru care \(\displaystyle \frac{8}{E(x)} \in Z \).
20
21
Fie expresia \(\displaystyle E(x) = \left(\frac{x - 1}{x - 2} - \frac{x - 2}{x - 1}\right) \cdot \frac{x^2 - 3x + 2}{2x^2 - 5x + 3} \)
a) Determinați valorile lui \( x \in R \) pentru care expresia \( E(x) \) nu este definită.
b) Aduceți expresia \( E(x) \) la forma cea mai simplă.
c) Determinați valorile lui \( x \in Z \), pentru care \( E(x) \in Z\)
d) Determinați valorile lui \( x \in R \), pentru care \( E(x) > 0 \).
a) Determinați valorile lui \( x \in R \) pentru care expresia \( E(x) \) nu este definită.
b) Aduceți expresia \( E(x) \) la forma cea mai simplă.
c) Determinați valorile lui \( x \in Z \), pentru care \( E(x) \in Z\)
d) Determinați valorile lui \( x \in R \), pentru care \( E(x) > 0 \).
22
Să se rezolve în \( R \) ecuația \(\displaystyle \frac{x}{2x - 6} - \frac{2}{4 - 2x} = \frac{3}{2x^2 - 10x + 12} \)
23
Fie expresia \(\displaystyle E(x) = \left\{ \left[ \frac{x^2 - 4}{(x+2)^2} \right]^2 + \frac{2x - 4}{x+2} + 1 \right\} : 8x^2 : \frac{1}{(x+2)^3} \).
Sa se determine mulțimea \( A = \{ x \in Z \, | \, |x| \leq 2, E(x) \in Z \}. \)
Sa se determine mulțimea \( A = \{ x \in Z \, | \, |x| \leq 2, E(x) \in Z \}. \)
24
Fie expresia \(\displaystyle E(x) = \left( \frac{2}{x^2 - 4} + \frac{1}{2x - x^2} \right) : \frac{1}{x^2 + 4x + 4} \)
a) Să se aducă expresia \( E(x) \) la forma cea mai simplă.
b) Să se rezolve în \( R \) inecuația \( E(x) > 1 \).
a) Să se aducă expresia \( E(x) \) la forma cea mai simplă.
b) Să se rezolve în \( R \) inecuația \( E(x) > 1 \).
25
Să se rezolve în \( R \) ecuația \(\displaystyle \frac{4x}{x+3} - \frac{x}{x-3} = \frac{12}{9-x^2} \)
26
Fie expresia \(\displaystyle E(x) = \frac{15x - 35}{9x^2 - 42x + 49} - \frac{2x}{3x + 7} - \frac{3x^2 - 77x}{49 - 9x^2} \)
a) Să se afle \( \text{DVA} \) al expresiei \( E(x) \).
b) Să se arate că \(\displaystyle E(x) = \frac{4}{3x + 7} \).
c) Să se determine \( x \in Z \), pentru care \( E(x) \in Z \).
a) Să se afle \( \text{DVA} \) al expresiei \( E(x) \).
b) Să se arate că \(\displaystyle E(x) = \frac{4}{3x + 7} \).
c) Să se determine \( x \in Z \), pentru care \( E(x) \in Z \).
27
28
Fie fracția \( \displaystyle F(x) = \frac{(x^2 + 2x)(x^2 + 2x - 5) + 4}{(x^2 + 2x)(x^2 + 2x - 6) + 8} \).
a) Simplificați fracția \( F(x) \).
b) Să se determine valorile întregi ale lui \( x \), pentru care \( F(x) \in Z \).
a) Simplificați fracția \( F(x) \).
b) Să se determine valorile întregi ale lui \( x \), pentru care \( F(x) \in Z \).
29
Fie expresia \( \displaystyle E(x) = \frac{1}{x} + \frac{x^4 - 1}{x^2 + 2x + 1} : \frac{x^3 + x}{x + 1} + x \)
a) Determinați valorile reale ale lui \( x \), pentru care expresia are sens.
b) Aduceți expresia \( E(x) \) la forma cea mai simplă.
c) Rezolvați în \( N^* \) inecuația \( \displaystyle \frac{E(x)}{3} \leq 2 \).
a) Determinați valorile reale ale lui \( x \), pentru care expresia are sens.
b) Aduceți expresia \( E(x) \) la forma cea mai simplă.
c) Rezolvați în \( N^* \) inecuația \( \displaystyle \frac{E(x)}{3} \leq 2 \).
30
Arătați că valoarea expresiei \( \displaystyle E(X) = (\frac{X^2 + 7X - 10}{X^2 - 25} - \frac{2}{X + 5}) : \frac{X}{4X - 20} \) este un număr natural, pentru orice \( X \in R \setminus \{-5; 0; 5\} \).
31
Fie expresia \( \displaystyle E(x) = \left( \frac{1}{x+1} + \frac{1}{x-1} + 1 \right) \cdot \frac{x^2 - 1}{x^2 + 2x - 1} \). Să se arate că \( E(x) = 1 \), pentru orice \( x \in DVA \) al expresiei \( E(x) \).
32
Fie expresia \( \displaystyle E(x) = \left(\frac{3}{9 - x^2} + \frac{1}{x - 3}\right) : \frac{x}{x^2 - 6x + 9} \).
a) Să se afle DVA al expresiei \( E(x) \).
b) Să se aducă la forma cea mai simplă expresia \( E(x) \).
c) Să se rezolve în \( R \) inecuația \( E(x) \leq 2 \).
a) Să se afle DVA al expresiei \( E(x) \).
b) Să se aducă la forma cea mai simplă expresia \( E(x) \).
c) Să se rezolve în \( R \) inecuația \( E(x) \leq 2 \).
33
34
Determinați valorile naturale ale lui \( X \), pentru care expresia \(\displaystyle E(X) = \frac{25X - 10X^2 + X^3}{15X - 3X^2} \) ia valori naturale.
35
Se dau expresiile \(\displaystyle E_1(x) = \left( \frac{x}{x+1} - \frac{x}{x-1} \right) \cdot \left( x^2 - 1 \right) \) și \(\displaystyle E_2(x) = \frac{x^3 - 2x^2 - x}{x^3 - x} \).
a) Să se afle valorile reale ale lui \( x \), pentru care \( E_1(x) \) și \( E_2(x) \) sunt definite.
b) Să se aducă \( E_1(x) \) la forma cea mai simplă.
c) Să se arate că \( \frac{E_1(x)}{x+1} + E_2(x) \) este un număr întreg, oricare ar fi \( x \) din domeniul de definiție.
a) Să se afle valorile reale ale lui \( x \), pentru care \( E_1(x) \) și \( E_2(x) \) sunt definite.
b) Să se aducă \( E_1(x) \) la forma cea mai simplă.
c) Să se arate că \( \frac{E_1(x)}{x+1} + E_2(x) \) este un număr întreg, oricare ar fi \( x \) din domeniul de definiție.
36
Să se afle valorile reale ale lui \( x \), pentru care expresiile \(\displaystyle \frac{2x + 3}{x + 2} \) și \(\displaystyle \frac{3x + 2}{x} \) obțin valori egale.
37
Rezolvați în mulțimea \( \mathbb{R} \) ecuația \(\displaystyle \frac{5}{x^2 - 5x} + \frac{8}{10 - 2x} = \frac{x}{x - 5} \).
38
Se consideră expresia \(\displaystyle E(x) = \left( \frac{x^2 - x}{x^2 - 4} - \frac{x - 3}{2 + x} + \frac{x + 3}{x - 2} \right) \cdot \frac{x^2 - 4}{x^2 + 3x} \).
a) Să se aducă expresia \( E(x) \, \text{la forma cea mai simplă} \).
b) Să se rezolve în mulțimea \( \mathbb{R} \) inecuația \( E(x) > 1 \).
a) Să se aducă expresia \( E(x) \, \text{la forma cea mai simplă} \).
b) Să se rezolve în mulțimea \( \mathbb{R} \) inecuația \( E(x) > 1 \).
39
40
Se consideră expresia \(\displaystyle E(x) = \left( \frac{4}{x^2 - 4} + \frac{1}{2 - x} \right) \cdot \frac{x^2 + 4x + 4}{3} \)
a) Să se aducă expresia \( E(x) \) la o formă mai simplă;
b) Să se afle valorile naturale pare nenule ale lui x, pentru care \( E(x) > -4 \).
a) Să se aducă expresia \( E(x) \) la o formă mai simplă;
b) Să se afle valorile naturale pare nenule ale lui x, pentru care \( E(x) > -4 \).
41
Să se rezolve în \( \mathbb{R} \) ecuația \(\displaystyle \frac{2x + 1}{2x - 1} - \frac{x}{4x^2 - 1} = 1 - \frac{1}{2x + 1} \).
42
Se consideră expresia \(\displaystyle E(x) = 2 - \frac{x + 1}{x - 1} : \frac{3x^2 + 3x}{6x^2} \)
a) Determinați valorile reale ale lui \( x \) pentru care expresia \( E(x) \) are sens;
b) Aduceți expresia \( E(x) \) la forma cea mai simplă;
c) Determinați valorile întregi ale lui \( x \), pentru care \( E(x) \in \mathbb{Z} \).
a) Determinați valorile reale ale lui \( x \) pentru care expresia \( E(x) \) are sens;
b) Aduceți expresia \( E(x) \) la forma cea mai simplă;
c) Determinați valorile întregi ale lui \( x \), pentru care \( E(x) \in \mathbb{Z} \).
43
44
Fie expresia \(\displaystyle E(x) = \frac{x^2 - 4}{3x + 6} - \frac{2x + 1}{6} \cdot \frac{3x - 5}{4x + 2} \):
a) Calculați \( E(0) \);
b) Aduceți expresia \( E(x) \) la forma cea mai simplă;
c) Aflați cea mai mică valoare întreagă a lui \( x \), pentru care \( E(x) \in \mathbb{N} \).
a) Calculați \( E(0) \);
b) Aduceți expresia \( E(x) \) la forma cea mai simplă;
c) Aflați cea mai mică valoare întreagă a lui \( x \), pentru care \( E(x) \in \mathbb{N} \).
45
46
Determinați valorile reale ale lui \( x \), pentru care \(\displaystyle \frac{2}{x - 2} + \frac{3x}{x + 2} = \frac{2x^2 - 2x + 4}{x^2 - 4} \).
47
Se dă expresia \(\displaystyle E(x) = \left(\frac{x^2 + 8}{x^3 - 8} + \frac{x}{x^2 + 2x + 4} - \frac{1}{x - 2}\right) \cdot \left( \frac{x^2}{x^2 - 4} - \frac{2}{2 - x} \right) \)
a) Să se aducă expresia \( E(x) \) la forma cea mai simplă;
b) Să se determine mulțimea \( A = \{ x \in \mathbb{R} \, | \, \left( 5 - 2x \right) \cdot E(x) > 0 \} \).
a) Să se aducă expresia \( E(x) \) la forma cea mai simplă;
b) Să se determine mulțimea \( A = \{ x \in \mathbb{R} \, | \, \left( 5 - 2x \right) \cdot E(x) > 0 \} \).
48
Să se simplifice fracția \(\displaystyle F(x) = \frac{x^3 - 3x^2 + 2x}{x^3 - x} \) pe domeniul ei de definiție.
49
50
Să se determine valorile reale ale lui \( x \), pentru care diferența rapoartelor \(\displaystyle \frac{4}{2x - x^2} \text{ și } \frac{2}{2 - x} \) este egală cu \(\displaystyle \frac{1}{2}. \)