Item 11 - toate variantele posibile
Exerciții
1
Determinați \( DVA \) și simplificați fracția algebrică \(\displaystyle \frac{X^3 - X^2 - 4X + 4}{2X - X^2}\).
2
Simplificați și scrieți expresia \(\displaystyle \frac{X^3 + 2X^2 + X}{X^3 + X^2 - X - 1}\) sub formă de fracție algebrică ireductibilă pe mulțimea \( \mathbb{R} \setminus \{-1; 1\} \).
3
Arătați că pentru orice \( X \in \mathbb{N} \), valoarea expresiei \(\displaystyle E(X) = \frac{X^3 + 2X^2 - 4X - 8}{X^2 + 4X + 4}\) este un număr întreg.
4
Determinați \( DVA \) și simplificați fracția algebrică \(\displaystyle \frac{X^2 + 5X + 6}{X^2 + 6X + 9}\).
5
Simplificați fracția \(\displaystyle \frac{X^3 - 3X^2 - X + 3}{9 - X^2}, \) pentru \( X \in \mathbb{R} \setminus \{-3; 3\} \).
6
Fie expresia \( \displaystyle E(X) = \left( \frac{1}{X+2} + \frac{X^2 + 2}{X^2 - 4} \right) : \frac{X+1}{X^2 - 4} \). Arătați că \( \displaystyle E(X) = X \), pentru orice \( \displaystyle X \in \mathbb{R} \setminus \{-2; -1; 2\} \).
7
Fie expresia \( \displaystyle E(X) = \frac{1}{X} + \frac{1}{X^2 - X} - \frac{3 - 2X}{X - 1} \). Arătați că \( \displaystyle E(X) = 2 \), pentru orice \( \displaystyle X \) din domeniul valorilor admisibile.
8
Arătați că valoarea expresiei \( \displaystyle E(X) = \frac{6}{X^2 - 9} - \frac{1}{X-3} - \frac{2X + 5}{X + 3} \) este o mărime constantă, oricare ar fi \( \displaystyle X \in \mathbb{R} \setminus \{-3; 3\} \).
9
Fie \( \displaystyle E(X) = \left( \frac{X}{X^2-4} - \frac{1}{X-2} \right) : \frac{1}{4-X^2} \). Arătați că valoarea expresiei \( \displaystyle E(X) \) este un număr natural, oricare ar fi \( \displaystyle X \in \mathbb{R} \setminus \{-2; 2\} \).
10
Aflați valorile naturale ale lui \( X \), pentru care valoarea expresiei \( \displaystyle E(X) = \frac{X^2 + 2X - 8}{X^2 - 2X} - \frac{X+2}{X} \) este un număr natural.
11
Determinați valorile reale ale lui \( X \), pentru care valorile respective ale fracțiilor algebrice \( \displaystyle \frac{X}{X - 3} \) și \( \displaystyle \frac{18}{X^2 - 9} \) sunt egale.
12
Fie \( \displaystyle E(X) = \left( \frac{x}{x-3} + \frac{x-3}{x} - 1 \right) : \frac{x^2 - 3x + 9}{3(x-3)} \). Determinați valorile reale ale lui \( \displaystyle X \in \mathbb{R} \setminus \{ 0; 3 \} \), pentru care \( \displaystyle E(X) = 1 \).
13
Determinați valorile reale ale lui \( X \), pentru care suma fracțiilor algebrice \( \displaystyle \frac{6X - X^2 - 15}{9 - X^2} \) și \( \displaystyle \frac{1}{3 - X} \) este egală cu 2.
14
Rezolvați în \( \mathbb{R} \) ecuația: \( \displaystyle \frac{1}{x^2 - x} + \frac{1}{x} = 1. \)
15
Rezolvați în \( \displaystyle \mathbb{R} \) ecuația \( \displaystyle \frac{2x+3}{x-2} - \frac{8x-2}{x^2 - 2x} = \frac{3x+1}{x} \).