Aria subgraficului unei funcţii

Cazul \( \displaystyle f(x)\ge 0 \)

Dacă \( \displaystyle f \) este continuă pe \([a,b]\) şi \( \displaystyle f(x)\ge 0 \), atunci aria subgraficului este

\( \displaystyle A=\int_a^b f(x)\,dx \)

Când funcţia schimbă semnul

Aria geometrică (pozitivă) se calculează cu valoare absolută:

\( \displaystyle A=\int_a^b |f(x)|\,dx \)

De obicei se împarte intervalul în punctele unde \( \displaystyle f(x)=0 \)

Aria dintre două grafice
Dacă \( \displaystyle f(x)\ge g(x) \) pe \([a,b]\), atunci aria dintre grafice este \( \displaystyle A=\int_a^b (f(x)-g(x))\,dx \)

Exemplu rezolvat

Calculăm aria domeniului mărginit de \( \displaystyle y=x^2 \), axa \( \displaystyle Ox \) şi dreptele \( \displaystyle x=0 \), \( \displaystyle x=1 \)

Aici \( \displaystyle f(x)=x^2\ge 0 \) pe \([0,1]\), deci \( \displaystyle A=\int_{0}^{1} x^2\,dx=\left.\frac{x^3}{3}\right|_{0}^{1}=\frac13 \)

Exerciții

Calculează aria subgraficului lui \( \displaystyle f(x)=2x \) pe \([0,3]\)

Calculează aria dintre \( \displaystyle y=x \) și \( \displaystyle y=0 \) pe \([0,2]\)

Calculează aria dintre graficele \( \displaystyle y=x^2 \) și \( \displaystyle y=x \) pe \([0,1]\)

Calculează aria geometrică pentru \( \displaystyle f(x)=x-1 \) pe \([0,2]\)

Calculează aria subgraficului lui \( \displaystyle f(x)=\sin x \) pe \([0,\pi]\)

Răspunsuri

Rezolvări

\( \displaystyle A=\int_0^3 2x\,dx=\left.x^2\right|_0^3=9 \)

\( \displaystyle A=\int_0^2 x\,dx=\left.\frac{x^2}{2}\right|_0^2=2 \)

Pe \([0,1]\) avem \( \displaystyle x\ge x^2 \)
\( \displaystyle A=\int_0^1 (x-x^2)\,dx=\left.\left(\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}\right)\right|_0^1=\frac12-\frac13=\frac16 \)

Funcţia se anulează la \( \displaystyle x=1 \)
\( \displaystyle A=\int_0^1 |x-1|\,dx+\int_1^2 |x-1|\,dx=\int_0^1 (1-x)\,dx+\int_1^2 (x-1)\,dx \)
\( \displaystyle \left.\left(x-\frac{x^2}{2}\right)\right|_0^1+\left.\left(\frac{x^2}{2}-x\right)\right|_1^2=\left(1-\frac12\right)+\left((2-2)-\left(\frac12-1\right)\right)=\frac12+\frac12=1 \)

\( \displaystyle A=\int_0^\pi \sin x\,dx=\left.-\cos x\right|_0^\pi=1-(-1)=2 \)

Cuprins

Explicație
Exerciții