Imagine

Definiție: Elipsa este locul geometric al punctelor \(\displaystyle M\) pentru care suma distanțelor la două puncte fixe \(\displaystyle F_1\) și \(\displaystyle F_2\) este constantă

\(\displaystyle MF_1+MF_2=2a\) cu \(\displaystyle a>c\), unde \(\displaystyle 2c=F_1F_2\)

Ecuație canonică (axele pe coordonate): \(\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)

Legături: \(\displaystyle c^2=a^2-b^2\), \(\displaystyle e=\frac{c}{a}\) cu \(\displaystyle 0

Interpretare simplă: \(\displaystyle a\) „controlează” lungimea elipsei, \(\displaystyle b\) cât de „turtită” e

Exemplu practic rezolvat

Elipsa are \(\displaystyle a=5\) și \(\displaystyle b=3\). Calculează \(\displaystyle c\) și scrie ecuația

\(\displaystyle c^2=a^2-b^2=25-9=16\Rightarrow c=4\)

\(\displaystyle \frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1\)

Răspuns: \(\displaystyle c=4\), \(\displaystyle \frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1\)

Exerciții

Răspuns: \(\displaystyle a=4\), \(\displaystyle b=3\)

Răspuns: \(\displaystyle 8\)

Răspuns: \(\displaystyle \frac{4}{5}\)

Răspuns: \(\displaystyle \frac{x^2}{49}+\frac{y^2}{4}=1\)

Răspuns: Cerc