Combinatorică: mulțimi ordonate, factorial, aranjamente

În combinatorică, întrebarea cheie este: contează ordinea
Dacă da → folosim aranjamente (sau permutări dacă luăm toate elementele)
Dacă nu → folosim combinări

Mulțimi ordonate

O mulțime finită \( \displaystyle M=\{a_1,a_2,\dots,a_n\} \) se numește ordonată dacă fiecărui element i se atribuie un rang \( \displaystyle 1,2,\dots,n \)

Exemplu: \( \displaystyle (-3,0,4)\neq(4,0,-3) \), deși \( \displaystyle \{-3,0,4\}=\{4,0,-3\} \)

Factorial

Produsul primelor \( \displaystyle n \) numere naturale nenule se notează \( \displaystyle n! \)
\( \displaystyle n!=1\cdot2\cdot3\cdot\dots\cdot n \), iar \( \displaystyle 0!=1 \)
Exemplu: \( \displaystyle 6!=720 \)

Aranjamente de \( \displaystyle n \) elemente luate câte \( \displaystyle m \)

Definiție
Submulțimile ordonate ale mulțimii \( \displaystyle M \), având fiecare câte \( \displaystyle m \) elemente, \( \displaystyle 0\le m\le n \), se numesc aranjamente
Se notează \( \displaystyle A_n^m \)

Formula
\( \displaystyle A_n^m=n(n-1)(n-2)\cdot\dots\cdot(n-m+1) \)
Echivalent: \( \displaystyle A_n^m=\frac{n!}{(n-m)!} \)

Ideea simplă: pentru primul loc ai \( \displaystyle n \) opțiuni, apoi \( \displaystyle n-1 \), apoi \( \displaystyle n-2 \) etc

Exemplu rezolvat (practic)

Elevii clasei a XII-a au \( \displaystyle 14 \) discipline de studiu
În câte moduri se poate întocmi orarul pentru o zi, dacă el trebuie să includă \( \displaystyle 6 \) discipline diferite

Aici contează ordinea (ora 1, ora 2, …), deci folosim aranjamente
\( \displaystyle A_{14}^6=\frac{14!}{(14-6)!}=\frac{14!}{8!} \)
\( \displaystyle A_{14}^6=14\cdot13\cdot12\cdot11\cdot10\cdot9 \)
\( \displaystyle A_{14}^6=2162160 \)
Răspuns \( \displaystyle 2162160 \) orare

Exerciții

Calculează \( \displaystyle A_{10}^3 \)

Câte coduri de 4 cifre distincte se pot forma din cifrele \( \displaystyle 0,1,2,\dots,9 \) dacă prima cifră nu poate fi \( \displaystyle 0 \)

În câte moduri se pot alege și ordona \( \displaystyle 5 \) elevi dintr-o clasă de \( \displaystyle 30 \) pentru a fi prezentați pe scenă

O parolă are \( \displaystyle 3 \) litere distincte (din \( \displaystyle 26 \)) urmate de \( \displaystyle 2 \) cifre distincte (din \( \displaystyle 10 \))
Câte parole există

Elevii clasei a XII-a au \( \displaystyle 14 \) discipline
În câte moduri se poate întocmi orarul pentru o zi cu \( \displaystyle 6 \) discipline diferite

Răspunsuri

Rezolvări

Folosim formula \( \displaystyle A_n^m=n(n-1)\cdot\dots\cdot(n-m+1) \)
\( \displaystyle A_{10}^3=10\cdot9\cdot8=720 \)

Prima cifră: \( \displaystyle 9 \) opțiuni (1–9)
Apoi rămân \( \displaystyle 9 \) cifre pentru a doua, \( \displaystyle 8 \) pentru a treia, \( \displaystyle 7 \) pentru a patra
\( \displaystyle 9\cdot9\cdot8\cdot7=4536 \)

Contează ordinea, deci \( \displaystyle A_{30}^5 \)
\( \displaystyle A_{30}^5=30\cdot29\cdot28\cdot27\cdot26=17100720 \)

Pentru litere: \( \displaystyle A_{26}^3=26\cdot25\cdot24 \)
Pentru cifre: \( \displaystyle A_{10}^2=10\cdot9 \)
Total: \( \displaystyle (26\cdot25\cdot24)\cdot(10\cdot9)=1404000 \)

Contează ordinea, deci \( \displaystyle A_{14}^6 \)
\( \displaystyle A_{14}^6=\frac{14!}{8!}=14\cdot13\cdot12\cdot11\cdot10\cdot9=2162160 \)

Cuprins

Explicație
Exerciții