Cercul ca loc geometric. Ecuația canonică

Imagine

Definiție: Cercul este mulțimea punctelor \(\displaystyle M(x,y)\) din plan aflate la aceeași distanță \(\displaystyle R\) de un punct fix \(\displaystyle C(a,b)\)

Ecuația canonică: \(\displaystyle (x-a)^2+(y-b)^2=R^2\)

Observație (simplu): pătratele apar fiindcă folosim formula distanței și evităm radicalul

Exemplu practic rezolvat

Scrie ecuația cercului cu centru \(\displaystyle C(2,-1)\) și rază \(\displaystyle R=3\)

\(\displaystyle (x-2)^2+(y+1)^2=9\)

Răspuns: \(\displaystyle (x-2)^2+(y+1)^2=9\)

Exerciții

Scrie ecuația cercului cu centru \(\displaystyle C(0,0)\) și rază \(\displaystyle 5\)

Determină centrul și raza pentru \(\displaystyle (x-4)^2+(y+2)^2=16\)

Verifică dacă punctul \(\displaystyle M(5,1)\) aparține cercului \(\displaystyle (x-2)^2+(y+1)^2=9\)

Găsește raza cercului \(\displaystyle (x+1)^2+(y-3)^2=49\)

Scrie ecuația cercului cu centru \(\displaystyle C(-3,4)\) și rază \(\displaystyle 2\)

Răspunsuri

Rezolvări

Soluție: În formula \(\displaystyle (x-a)^2+(y-b)^2=R^2\) pui \(\displaystyle a=0\), \(\displaystyle b=0\), \(\displaystyle R=5\) și obții \(\displaystyle x^2+y^2=25\)

Soluție: Compari cu forma canonică \(\displaystyle (x-a)^2+(y-b)^2=R^2\). Rezultă \(\displaystyle a=4\), \(\displaystyle b=-2\), \(\displaystyle R^2=16\Rightarrow R=4\)

Soluție: Înlocuiești \(\displaystyle x=5\), \(\displaystyle y=1\). \(\displaystyle (5-2)^2+(1+1)^2=9+4=13\), dar trebuie să fie \(\displaystyle 9\), deci nu aparține

Soluție: \(\displaystyle R^2=49\Rightarrow R=7\)

Soluție: Aplici direct forma canonică \(\displaystyle (x-a)^2+(y-b)^2=R^2\) cu \(\displaystyle a=-3\), \(\displaystyle b=4\), \(\displaystyle R=2\)

Cuprins

Explicație
Exerciții