Integrarea prin părți

Metoda e utilă când integrandul este produsul a două expresii (de exemplu polinom cu \( \displaystyle e^x \), polinom cu \(\displaystyle \sin x\), \(\displaystyle \ln x\) cu ceva simplu).

Formula de bază

\( \displaystyle \int u\,dv = u\cdot v - \int v\,du \)
unde \( \displaystyle du=u'(x)\,dx \) și \( \displaystyle v=\int dv \)

Cum alegi

Alege \( \displaystyle u \) astfel încât derivata lui să fie mai simplă
Alege \( \displaystyle dv \) astfel încât \( \displaystyle v=\int dv \) să fie ușor de găsit

De multe ori: \( \displaystyle u \) = logaritm / arctg / polinom, iar \( \displaystyle dv \)=\( \displaystyle e^x dx \), \( \displaystyle \sin x dx \), \( \displaystyle \cos x dx \).

Exemplu rezolvat

Calculează \( \displaystyle \int x e^x\,dx \)

Luăm \( \displaystyle u=x \Rightarrow du=dx \)
Luăm \( \displaystyle dv=e^x dx \Rightarrow v=e^x \)
\( \displaystyle \int x e^x dx = x e^x - \int e^x dx = x e^x - e^x + C = e^x(x-1)+C \)

Exerciții

Calculează \( \displaystyle \int x\cos x\,dx \)

Calculează \( \displaystyle \int \ln x\,dx \) pentru \( \displaystyle x>0 \)

Calculează \( \displaystyle \int x^2 e^x\,dx \)

Calculează \( \displaystyle \int e^x\sin x\,dx \)

Calculează \( \displaystyle \int x\arctan x\,dx \)

Răspunsuri

\( \displaystyle x\sin x+\cos x+C \)

\( \displaystyle x\ln x-x+C \)

\( \displaystyle e^x(x^2-2x+2)+C \)

\( \displaystyle \frac{1}{2}e^x(\sin x-\cos x)+C \)

\( \displaystyle \frac{x^2+1}{2}\arctan x-\frac{x}{2}+C \)

Rezolvări

Alegem \( \displaystyle u=x \Rightarrow du=dx \) și \( \displaystyle dv=\cos x\,dx \Rightarrow v=\sin x \)

Aplicăm \( \displaystyle \int u\,dv=u\cdot v-\int v\,du \) și obținem \( \displaystyle \int x\cos x\,dx=x\sin x-\int \sin x\,dx \)

\( \displaystyle \int \sin x\,dx=-\cos x \) deci \( \displaystyle x\sin x+\cos x+C \)

Luăm părți cu \( \displaystyle u=\ln x \Rightarrow du=\frac{1}{x}dx \) și \( \displaystyle dv=dx \Rightarrow v=x \)

\( \displaystyle \int \ln x\,dx=x\ln x-\int x\cdot\frac{1}{x}\,dx=x\ln x-\int 1\,dx \)

Rezultă \( \displaystyle x\ln x-x+C \)

Prin părți cu \( \displaystyle u=x^2 \Rightarrow du=2x\,dx \) și \( \displaystyle dv=e^x dx \Rightarrow v=e^x \) obținem \( \displaystyle \int x^2 e^x dx=x^2 e^x-\int 2x e^x dx \)

Calculăm \( \displaystyle \int x e^x dx \) prin părți și obținem \( \displaystyle (x-1)e^x \) deci \( \displaystyle \int 2x e^x dx=2(x-1)e^x \)

Înlocuim \( \displaystyle x^2 e^x-2(x-1)e^x=e^x(x^2-2x+2) \) și adăugăm \( \displaystyle C \)

Notăm \( \displaystyle I=\int e^x\sin x\,dx \) și prin părți obținem \( \displaystyle I=e^x\sin x-\int e^x\cos x\,dx \)

Notăm \( \displaystyle J=\int e^x\cos x\,dx \) și prin părți obținem \( \displaystyle J=e^x\cos x+I \)

Înlocuim \( \displaystyle I=e^x\sin x-(e^x\cos x+I) \) deci \( \displaystyle 2I=e^x(\sin x-\cos x) \) și rezultă \( \displaystyle I=\frac{1}{2}e^x(\sin x-\cos x)+C \)

Luăm părți cu \( \displaystyle u=\arctan x \Rightarrow du=\frac{1}{1+x^2}dx \) și \( \displaystyle dv=x\,dx \Rightarrow v=\frac{x^2}{2} \)

Obținem \( \displaystyle \int x\arctan x\,dx=\frac{x^2}{2}\arctan x-\frac{1}{2}\int \frac{x^2}{1+x^2}\,dx \)

Scriem \( \displaystyle \frac{x^2}{1+x^2}=1-\frac{1}{1+x^2} \) deci \( \displaystyle \int \frac{x^2}{1+x^2}\,dx=x-\arctan x \)

Înlocuim și simplificăm \( \displaystyle \frac{x^2+1}{2}\arctan x-\frac{x}{2}+C \)

Cuprins

Explicație
Exerciții