Evenimentele \( \displaystyle A \) şi \( \displaystyle B \) sunt independente dacă
\( \displaystyle P(A\cap B)=P(A)\,P(B) \)
Observaţie importantă
Incompatibile (\( \displaystyle A\cap B=\varnothing \)) nu înseamnă „independente” (în general).
Dacă \( \displaystyle A \) şi \( \displaystyle B \) sunt incompatibile şi \( \displaystyle P(A)>0 \), \( \displaystyle P(B)>0 \),
atunci \( \displaystyle P(A\cap B)=0 \ne P(A)P(B) \)
Pentru evenimente independente: \( \displaystyle P(A\mid B)=P(A) \) şi \( \displaystyle P(B\mid A)=P(B) \)
Exemplu rezolvat
Se aruncă o monedă şi un zar. \( \displaystyle A=\{\text{moneda: stemă}\} \), \( \displaystyle B=\{\text{zar: număr par}\} \). Calculăm \( \displaystyle P(A\cap B) \)
Dacă \( \displaystyle P(A)=0{,}2 \) și \( \displaystyle P(B)=0{,}5 \) iar \( \displaystyle A,B \) sunt independente calculează \( \displaystyle P(A\cap B) \)
Răspuns: \( \displaystyle 0{,}1 \)
2
Se aruncă două monede, \( \displaystyle A=\{\text{prima: stemă}\} \), \( \displaystyle B=\{\text{a doua: stemă}\} calculează \( \displaystyle P(A\cap B) \)
Răspuns: \( \displaystyle \frac{1}{4} \)
3
Se aruncă un zar, \( \displaystyle A=\{\text{număr par}\} \), \( \displaystyle B=\{\text{număr multiplu de }3\} calculează \( \displaystyle P(A)P(B) \)
Răspuns: \( \displaystyle \frac{1}{6} \)
4
Se aruncă un zar, pentru aceleaşi \( \displaystyle A,B \) din exerciţiul anterior calculează \( \displaystyle P(A\cap B) \)
Răspuns: \( \displaystyle \frac{1}{6} \)
5
Dacă \( \displaystyle P(A\cap B)=0{,}12 \), \( \displaystyle P(A)=0{,}3 \), calculează \( \displaystyle P(B) \) presupunând că \( \displaystyle A,B \) sunt independente
\( \displaystyle A\cap B=\{6\} \Rightarrow P(A\cap B)=\frac{1}{6} \) În acest caz numeric rezultă egalitate, dar asta nu e regulă generală pentru „par” și „multiplu de 3” la alte experimente