Metoda se folosește când în integrand apare o compunere \( \displaystyle f(g(x)) \) împreună cu derivata lui \( \displaystyle g(x) \).
Formula de bază
Dacă \( \displaystyle t=g(x) \) și \( \displaystyle dt=g'(x)\,dx \), atunci
\( \displaystyle \int f(g(x))\,g'(x)\,dx=\int f(t)\,dt \)
La final revii la variabila \( \displaystyle x \) (înlocuiești \( \displaystyle t \) cu \( \displaystyle g(x) \)).
Pași practici
Alege \( \displaystyle t=g(x) \) (partea „din interior”)
Calculează \( \displaystyle dt=g'(x)\,dx \)
Rescrie integrala în \( \displaystyle t \)
Integrează și revino la \( \displaystyle x \)
Exemplu rezolvat
Calculează \( \displaystyle \int \frac{2x}{1+x^2}\,dx \)
Alegem \( \displaystyle t=1+x^2 \Rightarrow dt=2x\,dx \)
Atunci \( \displaystyle \int \frac{2x}{1+x^2}\,dx=\int \frac{1}{t}\,dt=\ln|t|+C \)
Revenim: \( \displaystyle \ln(1+x^2)+C \)
Exerciții
1
Calculează \( \displaystyle \int 4x\,e^{x^2}\,dx \)
Răspuns: \( \displaystyle 2e^{x^2}+C \)
2
Calculează \( \displaystyle \int \frac{5}{3x+1}\,dx \)
Răspuns: \( \displaystyle \frac{5}{3}\ln|3x+1|+C \)
3
Calculează \( \displaystyle \int (2x-1)\sqrt{x^2-x}\,dx \)
Răspuns: \( \displaystyle \frac{2}{3}(x^2-x)^{3/2}+C \)
4
Calculează \( \displaystyle \int \sin(3x)\,dx \) folosind substituția \( \displaystyle u=3x \)
Răspuns: \( \displaystyle -\frac{1}{3}\cos(3x)+C \)
5
Calculează \( \displaystyle \int \frac{2x+3}{x^2+3x+2}\,dx \)
Răspuns: \( \displaystyle \ln|x^2+3x+2|+C \)
Răspunsuri
1
\( \displaystyle 2e^{x^2}+C \)
2
\( \displaystyle \frac{5}{3}\ln|3x+1|+C \)
3
\( \displaystyle \frac{2}{3}(x^2-x)^{3/2}+C \)
4
\( \displaystyle -\frac{1}{3}\cos(3x)+C \)
5
\( \displaystyle \ln|x^2+3x+2|+C \)
Rezolvări
1
Punem \( \displaystyle u=x^2 \) atunci \( \displaystyle du=2x\,dx \)
Observăm \( \displaystyle 4x\,dx=2\cdot 2x\,dx=2du \) deci integrala devine \( \displaystyle \int 2e^u\,du \)
Rezultă \( \displaystyle 2e^u+C \) și revenim \( \displaystyle 2e^{x^2}+C \)
2
Punem \( \displaystyle u=3x+1 \) deci \( \displaystyle du=3\,dx \) și \( \displaystyle dx=\frac{1}{3}du \)
Integrala devine \( \displaystyle \frac{5}{3}\int \frac{1}{u}\,du \)
Rezultă \( \displaystyle \frac{5}{3}\ln|u|+C=\frac{5}{3}\ln|3x+1|+C \)
3
Punem \( \displaystyle u=x^2-x \) deci \( \displaystyle du=(2x-1)\,dx \)
Integrala devine \( \displaystyle \int u^{1/2}\,du \)
\( \displaystyle \int u^{1/2}\,du=\frac{u^{3/2}}{3/2}+C=\frac{2}{3}u^{3/2}+C \) și revenim \( \displaystyle \frac{2}{3}(x^2-x)^{3/2}+C \)
4
Punem \( \displaystyle u=3x \) deci \( \displaystyle du=3\,dx \) și \( \displaystyle dx=\frac{1}{3}du \)
Integrala devine \( \displaystyle \frac{1}{3}\int \sin u\,du \)
\( \displaystyle \int \sin u\,du=-\cos u+C \) deci \( \displaystyle -\frac{1}{3}\cos(3x)+C \)
5
Punem \( \displaystyle u=x^2+3x+2 \) deci \( \displaystyle du=(2x+3)\,dx \)
Integrala devine \( \displaystyle \int \frac{1}{u}\,du \)
Rezultă \( \displaystyle \ln|u|+C=\ln|x^2+3x+2|+C \)