Parabola ca loc geometric. Ecuație canonică și parametru

Imagine

Definiție: Parabola este locul geometric al punctelor \(\displaystyle M\) din plan egal depărtate de un punct fix \(\displaystyle F\) (focar) și de o dreaptă fixă (directrică)

\(\displaystyle MF=d(M,\text{directrică})\)

Ecuație canonică (deschidere spre dreapta): \(\displaystyle y^2=2px\) cu \(\displaystyle p>0\)

\(\displaystyle p\) se numește parametrul parabolei și controlează „cât de deschisă” este

Excentricitate: \(\displaystyle e=1\)

Exemplu practic rezolvat

Scrie ecuația parabolei \(\displaystyle y^2=2px\) pentru \(\displaystyle p=4\) și determină \(\displaystyle x\) dacă \(\displaystyle y=6\)

\(\displaystyle y^2=8x\)

Dacă \(\displaystyle y=6\), atunci \(\displaystyle 36=8x\Rightarrow x=\frac{36}{8}=\frac{9}{2}\)

Răspuns: \(\displaystyle y^2=8x\), \(\displaystyle x=\frac{9}{2}\)

Exerciții

Pentru \(\displaystyle y^2=10x\) determină \(\displaystyle p\)

Scrie ecuația pentru \(\displaystyle p=3\) în forma \(\displaystyle y^2=2px\)

Dacă \(\displaystyle y^2=8x\) și \(\displaystyle y=4\), calculează \(\displaystyle x\)

Excentricitatea parabolei este

În definiția parabolei, punctul fix se numește

Răspunsuri

Rezolvări

Soluție: Compari cu \(\displaystyle y^2=2px\). Rezultă \(\displaystyle 2p=10\Rightarrow p=5\)

Soluție: \(\displaystyle y^2=2\cdot 3\cdot x=6x\)

Soluție: \(\displaystyle 16=8x\Rightarrow x=2\)

Soluție: Pentru parabola definită prin focar și directrică, excentricitatea este \(\displaystyle e=1\)

Soluție: Punctul fix din definiție este focarul \(\displaystyle F\)

Cuprins

Explicație
Exerciții