Ideea de bază: pentru o funcţie pozitivă pe \([a,b]\), aria aproximativă sub grafic se obţine cu sume de dreptunghiuri (sume integrale). Când împărţirea intervalului devine „foarte fină”, aceste sume tind către o limită.

Diviziune şi sumă integrală

O diviziune a intervalului \([a,b]\) este: \( \displaystyle a=x_0<x_1<\dots<x_n=b \), cu \( \displaystyle \Delta x_k=x_k-x_{k-1} \).

Alegem puncte intermediare \( \displaystyle \xi_k\in[x_{k-1},x_k] \) și construim suma:

\( \displaystyle \sigma(T,\xi)=\sum_{k=1}^{n} f(\xi_k)\,\Delta x_k \)

Norma diviziunii: \( \displaystyle \|T\|=\max_{1\le k\le n}\Delta x_k \)

Definiţia integralei definite (Riemann)

Funcţia \( \displaystyle f:[a,b]\to\mathbb{R} \) se numeşte integrabilă pe \([a,b]\) dacă există limita:

\( \displaystyle \int_a^b f(x)\,dx=\lim_{\|T\|\to 0}\sigma(T,\xi) \)

Această limită (dacă există) este integrala definită a funcţiei pe \([a,b]\)

Fapte utile (pe care le folosim mereu):
• Dacă \( \displaystyle f \) este continuă pe \([a,b]\), atunci \( \displaystyle f \) este integrabilă pe \([a,b]\)
• Dacă \( \displaystyle f \) este monotonă sau are un număr finit de discontinuităţi de salt, atunci (în mod uzual la liceu) se consideră integrabilă

Exemplu rezolvat (calcul direct cu primitive)

Calculăm \( \displaystyle \int_{0}^{\pi}\sin x\,dx \)

O primitivă este \( \displaystyle F(x)=-\cos x \). Atunci: \( \displaystyle \int_{0}^{\pi}\sin x\,dx = F(\pi)-F(0)=(-\cos\pi)-(-\cos 0)=1-(-1)=2 \)

(Mai târziu formalizăm asta prin formula Leibniz–Newton)

Exerciții

Răspuns: \( \displaystyle 4 \)

Răspuns: \( \displaystyle 1 \)

Răspuns: \( \displaystyle 2 \)

Răspuns: \( \displaystyle \frac{1}{6} \)

Răspuns: \( \displaystyle \frac{8}{3} \)