Proprietăţile principale ale integralelor definite

Liniaritate

\( \displaystyle \int_a^b \big(\alpha f(x)+\beta g(x)\big)\,dx=\alpha\int_a^b f(x)\,dx+\beta\int_a^b g(x)\,dx \)

Valabil pentru \( \displaystyle \alpha,\beta\in\mathbb{R} \) şi funcţii integrabile

Additivitate pe interval

\( \displaystyle \int_a^b f(x)\,dx=\int_a^c f(x)\,dx+\int_c^b f(x)\,dx \)

Pentru orice \( \displaystyle c\in[a,b] \)

Schimbarea limitelor

\( \displaystyle \int_a^b f(x)\,dx=-\int_b^a f(x)\,dx \), iar \( \displaystyle \int_a^a f(x)\,dx=0 \)

Monotonie şi estimări

Dacă \( \displaystyle f(x)\le g(x) \) pe \([a,b]\), atunci

\( \displaystyle \int_a^b f(x)\,dx\le \int_a^b g(x)\,dx \)

Dacă \( \displaystyle m\le f(x)\le M \) pe \([a,b]\), atunci \( \displaystyle m(b-a)\le \int_a^b f(x)\,dx \le M(b-a) \)

Funcţii pare şi impare:
Dacă \( \displaystyle f \) este pară, atunci \( \displaystyle \int_{-a}^{a} f(x)\,dx = 2\int_{0}^{a} f(x)\,dx \)
Dacă \( \displaystyle f \) este impară, atunci \( \displaystyle \int_{-a}^{a} f(x)\,dx = 0 \)

Exemplu rezolvat (folosind paritate)

Calculăm \( \displaystyle \int_{-2}^{2} (x^2+3)\,dx \)

Funcţia \( \displaystyle x^2+3 \) este pară, deci: \( \displaystyle \int_{-2}^{2}(x^2+3)\,dx = 2\int_{0}^{2}(x^2+3)\,dx \)

\( \displaystyle 2\int_0^2(x^2+3)\,dx = 2\left(\left.\frac{x^3}{3}\right|_0^2+\left.3x\right|_0^2\right) =2\left(\frac{8}{3}+6\right)=2\cdot\frac{26}{3}=\frac{52}{3} \)

Exerciții

1
Calculează \( \displaystyle \int_{-3}^{3} (x^4-1)\,dx \)
2
Calculează \( \displaystyle \int_{0}^{2} (f(x)+g(x))\,dx \) dacă \( \displaystyle \int_{0}^{2} f(x)\,dx=5 \) și \( \displaystyle \int_{0}^{2} g(x)\,dx=-1 \)
3
Determină \( \displaystyle \int_{2}^{5} 7\,dx \)
4
Dacă \( \displaystyle 1\le f(x)\le 4 \) pe \([0,3]\), dă o estimare pentru \( \displaystyle \int_{0}^{3} f(x)\,dx \)
5
Calculează \( \displaystyle \int_{-2}^{2} x\,dx \)

Răspunsuri

Rezolvări

Înapoi Următor