Recapitulare — Funcții derivabile

AaaDerivata unei funcții

Fie \( \displaystyle f:D\to\mathbb{R}\), \( \displaystyle x_0\in D\). Derivata lui \( \displaystyle f\) în punctul \( \displaystyle x_0\) este:
\( \displaystyle f'(x_0)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x} \).
Dacă limita există și este finită, funcția este derivabilă în \( \displaystyle x_0\).
Exemplu rezolvat Pentru \( \displaystyle f(x)=x^2+1\), calculăm \( \displaystyle f'(1)\):
  1. \( \displaystyle \frac{f(1+\Delta x)-f(1)}{\Delta x}=\frac{(1+\Delta x)^2+1-2}{\Delta x}\).
  2. \( \displaystyle =\frac{2\Delta x+(\Delta x)^2}{\Delta x}=2+\Delta x\).
  3. \( \displaystyle f'(1)=\lim_{\Delta x\to 0}(2+\Delta x)=2\).
Răspuns: \( \displaystyle f'(1)=2\).

Diferențiala unei funcții

Pentru \( \displaystyle \Delta x\) mic:
\( \displaystyle \Delta f=f'(x_0)\Delta x+\varepsilon(\Delta x)\Delta x,\quad \varepsilon(\Delta x)\to 0.\)
Diferențiala: \( \displaystyle df=f'(x)\,dx\) (cu \( \displaystyle dx=\Delta x\)).
Aproximare: \( \displaystyle \Delta f \approx df=f'(x_0)\Delta x\).
Exemplu rezolvat Aproximează \( \displaystyle \sqrt{25{,}04}\), \( \displaystyle f(x)=\sqrt{x}\):
  1. \( \displaystyle f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}},\ x_0=25,\ \Delta x=0{,}04\).
  2. \( \displaystyle f(25)=5,\ f'(25)=\frac{1}{10}\).
  3. \( \displaystyle \Delta f\approx \frac{1}{10}\cdot 0{,}04=0{,}004\).
  4. \( \displaystyle \sqrt{25{,}04}\approx 5{,}004\).

Interpretarea geometrică a derivatei

Panta tangentei la \( \displaystyle y=f(x)\) în \( \displaystyle x_0\):
\( \displaystyle m=f'(x_0)\).
Tangenta:
\( \displaystyle y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0).\)
Normala (dacă \( \displaystyle f'(x_0)\neq 0\)):
\( \displaystyle y-f(x_0)=-\frac{1}{f'(x_0)}(x-x_0).\)
Exemplu rezolvat Pentru \( \displaystyle f(x)=x^2\) în \( \displaystyle x_0=1\):
  1. \( \displaystyle f'(x)=2x\Rightarrow f'(1)=2\).
  2. \( \displaystyle f(1)=1\).
  3. \( \displaystyle y=1+2(x-1)=2x-1\).

Regulile de derivare

  • \( \displaystyle (f\pm g)'=f'\pm g',\quad (c f)'=c f'.\)
  • \( \displaystyle (fg)'=f'g+fg'.\)
  • \( \displaystyle \left(\frac{f}{g}\right)'=\frac{f'g-fg'}{g^2},\ g\neq 0.\)
  • \( \displaystyle (g\circ f)'(x)=g'(f(x))\cdot f'(x).\)
Exemplu rezolvat Pentru \( \displaystyle f(x)=2\sin^2 x-5x\):
  1. \( \displaystyle (\sin^2 x)'=2\sin x\cos x=\sin 2x\).
  2. \( \displaystyle f'(x)=2\sin 2x-5\).
  3. \( \displaystyle df=(2\sin 2x-5)\,dx\).

Tabel minimal de derivate

  • \( \displaystyle (c)'=0,\ (x)'=1,\ (x^n)'=n x^{n-1}\).
  • \( \displaystyle (\sin x)'=\cos x,\ (\cos x)'=-\sin x,\ (\tan x)'=\frac{1}{\cos^2 x}.\)
  • \( \displaystyle (e^x)'=e^x,\ (a^x)'=a^x\ln a\).
  • \( \displaystyle (\ln x)'=\frac{1}{x}\) (\( \displaystyle x>0\)).
Exemplu rezolvat Pentru \( \displaystyle f(x)=x^3-2\ln x+e^{2x}\):
\( \displaystyle f'(x)=3x^2-\frac{2}{x}+2e^{2x}.\)

Înapoi Următor