Proprietățile te ajută să „spargi” integrale complicate în integrale simple.
Proprietăți esențiale
\( \displaystyle \int\big(f(x)+g(x)\big)\,dx=\int f(x)\,dx+\int g(x)\,dx \)
\( \displaystyle \int k\cdot f(x)\,dx = k\int f(x)\,dx \), pentru \( \displaystyle k\in\mathbb{R} \)
Dacă \( \displaystyle F'(x)=f(x) \), atunci \( \displaystyle \int f(x)\,dx=F(x)+C \)
Primitive uzuale (mini-tabel)
| Funcția \( \displaystyle f(x) \) |
O primitivă \( \displaystyle F(x) \) |
| \( \displaystyle x^n,\ n\neq -1 \) |
\( \displaystyle \frac{x^{n+1}}{n+1} \) |
| \( \displaystyle \frac{1}{x} \) |
\( \displaystyle \ln|x| \) |
| \( \displaystyle e^x \) |
\( \displaystyle e^x \) |
| \( \displaystyle \sin x \) |
\( \displaystyle -\cos x \) |
| \( \displaystyle \cos x \) |
\( \displaystyle \sin x \) |
La final se adaugă mereu \( \displaystyle +C \).
Exemplu rezolvat
Calculează \( \displaystyle \int \left(2x^3-\frac{4}{x}\right)\,dx \)
\( \displaystyle \int 2x^3\,dx = 2\cdot \frac{x^4}{4}=\frac{x^4}{2} \)
\( \displaystyle \int \frac{4}{x}\,dx = 4\ln|x| \)
Deci \( \displaystyle \int \left(2x^3-\frac{4}{x}\right)\,dx=\frac{x^4}{2}-4\ln|x|+C \)
Exerciții
1
Calculează \( \displaystyle \int \frac{6x}{3x^2+5}\,dx \)
Răspuns: \( \displaystyle \ln(3x^2+5)+C \)
2
Calculează \( \displaystyle \int \sin(5x-1)\,dx \)
Răspuns: \( \displaystyle -\frac{1}{5}\cos(5x-1)+C \)
3
Calculează \( \displaystyle \int \cos(2x)\,dx \)
Răspuns: \( \displaystyle \frac{1}{2}\sin(2x)+C \)
4
Calculează \( \displaystyle \int \left(4e^x-3x^2\right)\,dx \)
Răspuns: \( \displaystyle 4e^x-x^3+C \)
5
Determină \( \displaystyle s(t) \) dacă \( \displaystyle v(t)=3t^2-2t \) și \( \displaystyle s(0)=5 \)
Răspuns: \( \displaystyle s(t)=t^3-t^2+5 \)
Răspunsuri
1
\( \displaystyle \ln(3x^2+5)+C \)
2
\( \displaystyle -\frac{1}{5}\cos(5x-1)+C \)
3
\( \displaystyle \frac{1}{2}\sin(2x)+C \)
4
\( \displaystyle 4e^x-x^3+C \)
5
\( \displaystyle s(t)=t^3-t^2+5 \)
Rezolvări
1
Alegem \( \displaystyle u=3x^2+5 \) astfel încât \( \displaystyle du=6x\,dx \)
Integrala devine \( \displaystyle \int \frac{1}{u}\,du \)
Rezultă \( \displaystyle \ln|u|+C=\ln|3x^2+5|+C \) iar \( \displaystyle 3x^2+5>0 \) deci \( \displaystyle \ln(3x^2+5)+C \)
2
Punem \( \displaystyle u=5x-1 \) deci \( \displaystyle du=5\,dx \) și \( \displaystyle dx=\frac{1}{5}du \)
Integrala devine \( \displaystyle \frac{1}{5}\int \sin u\,du \)
\( \displaystyle \int \sin u\,du=-\cos u+C \) deci \( \displaystyle -\frac{1}{5}\cos(5x-1)+C \)
3
Punem \( \displaystyle u=2x \) deci \( \displaystyle du=2\,dx \) și \( \displaystyle dx=\frac{1}{2}du \)
Integrala devine \( \displaystyle \frac{1}{2}\int \cos u\,du \)
\( \displaystyle \int \cos u\,du=\sin u+C \) deci \( \displaystyle \frac{1}{2}\sin(2x)+C \)
4
Aplicăm linearitatea și integrăm pe termeni
\( \displaystyle \int 4e^x\,dx=4e^x \)
\( \displaystyle \int (-3x^2)\,dx=-3\cdot\frac{x^3}{3}=-x^3 \)
Rezultatul este \( \displaystyle 4e^x-x^3+C \)
5
Folosim relația \( \displaystyle v(t)=s'(t) \) deci \( \displaystyle s'(t)=3t^2-2t \)
Integrăm \( \displaystyle s(t)=\int (3t^2-2t)\,dt=t^3-t^2+C \)
Din \( \displaystyle s(0)=5 \) obținem \( \displaystyle C=5 \) deci \( \displaystyle s(t)=t^3-t^2+5 \)