Lungimea graficului (arc de curbă)
Dacă \( \displaystyle f \) este derivabilă pe \([a,b]\), atunci lungimea graficului pe \([a,b]\) este
\( \displaystyle L=\int_a^b \sqrt{1+\big(f'(x)\big)^2}\,dx \)
Aria suprafeţei de rotaţie (în jurul lui \( \displaystyle Ox \))
Dacă \( \displaystyle f(x)\ge 0 \) pe \([a,b]\), atunci aria suprafeţei obţinute prin rotaţie este
\( \displaystyle S=2\pi\int_a^b f(x)\sqrt{1+\big(f'(x)\big)^2}\,dx \)
Observaţie: formulele se folosesc doar când condiţiile de derivabilitate/regularitate sunt îndeplinite pe intervalul dat
Exemplu rezolvat (lungime)
Determinăm lungimea graficului lui \( \displaystyle f(x)=x \) pe \([0,1]\)
\( \displaystyle f'(x)=1 \Rightarrow L=\int_0^1 \sqrt{1+1^2}\,dx=\int_0^1 \sqrt{2}\,dx=\sqrt{2} \)
Exerciții
1
Calculează lungimea graficului lui \( \displaystyle f(x)=0 \) pe \([0,5]\)
Răspuns: \( \displaystyle 5 \)
2
Calculează lungimea graficului lui \( \displaystyle f(x)=2x \) pe \([0,3]\)
Răspuns: \( \displaystyle 3\sqrt{5} \)
3
Calculează aria suprafeţei obţinute prin rotaţia lui \( \displaystyle y=1 \) pe \([0,2]\) în jurul lui \( \displaystyle Ox \)
Răspuns: \( \displaystyle 4\pi \)
4
Calculează aria suprafeţei obţinute prin rotaţia lui \( \displaystyle y=x \) pe \([0,1]\) în jurul lui \( \displaystyle Ox \)
Răspuns: \( \displaystyle \pi\sqrt{2} \)
5
Calculează lungimea graficului lui \( \displaystyle f(x)=x \) pe \([0,4]\)
Răspuns: \( \displaystyle 4\sqrt{2} \)
Răspunsuri
2
\( \displaystyle 3\sqrt{5} \)
3
\( \displaystyle 4\pi \)
4
\( \displaystyle \pi\sqrt{2} \)
5
\( \displaystyle 4\sqrt{2} \)
Rezolvări
1
\( \displaystyle f'(x)=0 \Rightarrow L=\int_0^5 \sqrt{1+0}\,dx=\int_0^5 1\,dx=5 \)
2
\( \displaystyle f'(x)=2 \Rightarrow L=\int_0^3 \sqrt{1+4}\,dx=\int_0^3 \sqrt{5}\,dx=3\sqrt{5} \)
3
\( \displaystyle f(x)=1, f'(x)=0 \Rightarrow S=2\pi\int_0^2 1\cdot\sqrt{1+0}\,dx=2\pi\cdot 2=4\pi \)
4
\( \displaystyle f(x)=x, f'(x)=1 \Rightarrow S=2\pi\int_0^1 x\sqrt{1+1}\,dx=2\pi\sqrt{2}\int_0^1 x\,dx \)
\( \displaystyle 2\pi\sqrt{2}\left.\frac{x^2}{2}\right|_0^1=\pi\sqrt{2} \)
5
\( \displaystyle f'(x)=1 \Rightarrow L=\int_0^4 \sqrt{2}\,dx=4\sqrt{2} \)