Formula Leibniz–Newton
Dacă \( \displaystyle F'(x)=f(x) \) pe \([a,b]\), atunci
\( \displaystyle \int_a^b f(x)\,dx = F(b)-F(a) \)
Schimbarea de variabilă (definită)
Dacă \( \displaystyle x=\varphi(t) \), derivabilă, atunci
\( \displaystyle \int_{a}^{b} f(x)\,dx = \int_{\alpha}^{\beta} f(\varphi(t))\,\varphi'(t)\,dt \)
unde \( \displaystyle \alpha,\beta \) sunt astfel încât \( \displaystyle \varphi(\alpha)=a \), \( \displaystyle \varphi(\beta)=b \)
Integrarea prin părţi (definită)
\( \displaystyle \int_a^b u(x)v'(x)\,dx = \big[u(x)v(x)\big]_{a}^{b}-\int_a^b u'(x)v(x)\,dx \)
Exemplu rezolvat (schimbare de variabilă)
Calculăm \( \displaystyle \int_{0}^{1} 2x\,e^{x^2}\,dx \)
Notăm \( \displaystyle t=x^2 \Rightarrow dt=2x\,dx \). Limite: \( \displaystyle x=0\Rightarrow t=0 \), \( \displaystyle x=1\Rightarrow t=1 \)
\( \displaystyle \int_{0}^{1} 2x\,e^{x^2}\,dx = \int_{0}^{1} e^{t}\,dt = \left.e^{t}\right|_{0}^{1}=e-1 \)
Exerciții
1
Calculează \( \displaystyle \int_{0}^{2} (3x^2+4x)\,dx \)
Răspuns: \( \displaystyle 16 \)
2
Calculează \( \displaystyle \int_{0}^{1} \frac{2x}{1+x^2}\,dx \)
Răspuns: \( \displaystyle \ln 2 \)
3
Calculează \( \displaystyle \int_{0}^{1} x\ln x\,dx \)
Răspuns: \( \displaystyle -\frac{1}{4} \)
4
Calculează \( \displaystyle \int_{0}^{\pi/2} \sin x\cos x\,dx \)
Răspuns: \( \displaystyle \frac{1}{2} \)
5
Calculează \( \displaystyle \int_{1}^{e} \ln x\,dx \)
Răspuns: \( \displaystyle 1 \)
Răspunsuri
2
\( \displaystyle \ln 2 \)
3
\( \displaystyle -\frac{1}{4} \)
4
\( \displaystyle \frac{1}{2} \)
Rezolvări
1
\( \displaystyle \int_{0}^{2}(3x^2+4x)\,dx=\left.\left(x^3+2x^2\right)\right|_0^2=(8+8)-0=16 \)
2
Notăm \( \displaystyle t=1+x^2 \Rightarrow dt=2x\,dx \)
Limite: \( \displaystyle x=0\Rightarrow t=1 \), \( \displaystyle x=1\Rightarrow t=2 \)
\( \displaystyle \int_{0}^{1}\frac{2x}{1+x^2}\,dx=\int_{1}^{2}\frac{1}{t}\,dt=\left.\ln t\right|_{1}^{2}=\ln 2 \)
3
Prin părţi: \( \displaystyle u=\ln x \), \( \displaystyle dv=x\,dx \Rightarrow du=\frac{1}{x}\,dx \), \( \displaystyle v=\frac{x^2}{2} \)
\( \displaystyle \int_0^1 x\ln x\,dx=\left.\frac{x^2}{2}\ln x\right|_0^1-\int_0^1 \frac{x^2}{2}\cdot\frac{1}{x}\,dx \)
Primul termen este \( \displaystyle 0 \) (la \( \displaystyle x\to 0^+ \), \( \displaystyle x^2\ln x\to 0 \))
\( \displaystyle -\int_0^1 \frac{x}{2}\,dx=-\left.\frac{x^2}{4}\right|_0^1=-\frac14 \)
4
Notăm \( \displaystyle t=\sin x \Rightarrow dt=\cos x\,dx \)
Limite: \( \displaystyle x=0\Rightarrow t=0 \), \( \displaystyle x=\frac{\pi}{2}\Rightarrow t=1 \)
\( \displaystyle \int_{0}^{\pi/2}\sin x\cos x\,dx=\int_0^1 t\,dt=\left.\frac{t^2}{2}\right|_0^1=\frac12 \)
5
Primitivă: \( \displaystyle \int \ln x\,dx=x\ln x-x+C \)
\( \displaystyle \int_{1}^{e}\ln x\,dx=\left.(x\ln x-x)\right|_{1}^{e}=(e\cdot 1-e)-(1\cdot 0-1)=0-(-1)=1 \)