Primitiva. Integrala nedefinită

Integrala nedefinită descrie mulțimea tuturor primitivelor ale unei funcții.

Definiție și notație

Dacă \( \displaystyle F \) este o primitivă a lui \( \displaystyle f \) pe \( \displaystyle I \), atunci integrala nedefinită se notează:

\( \displaystyle \int f(x)\,dx = F(x)+C \)

\( \displaystyle C \) se numește constanta de integrare, iar \( \displaystyle f(x) \) este integrandul.

Cum citești

\( \displaystyle \int f(x)\,dx \) se citește „integrala din \( \displaystyle f(x) \) în raport cu \( \displaystyle x \)”. Variabila \( \displaystyle x \) este variabilă de integrare.

Exemplu rezolvat

Calculează \( \displaystyle \int 2x\,dx \)

Observăm că \( \displaystyle (x^2)'=2x \)
Deci \( \displaystyle \int 2x\,dx=x^2+C \)

Exerciții

Calculează \( \displaystyle \int (5x^4-2x+1)\,dx \)

Determină \( \displaystyle \int \left(\frac{1}{2}x^3-7\right)\,dx \)

Găsește o primitivă pentru \( \displaystyle f(x)=\cos x \)

Găsește o primitivă pentru \( \displaystyle f(x)=\frac{1}{x} \) pe un interval unde are sens

Determină \( \displaystyle C \) dacă \( \displaystyle F(x)=x^2+C \) este primitivă și \( \displaystyle F(0)=3 \)

Răspunsuri

Rezolvări

Folosim linearitatea și integrăm pe termeni

\( \displaystyle \int 5x^4\,dx=5\cdot\frac{x^5}{5}=x^5 \)

\( \displaystyle \int (-2x)\,dx=-2\cdot\frac{x^2}{2}=-x^2 \)

\( \displaystyle \int 1\,dx=x \)

Adunăm rezultatele și constanta \( \displaystyle C \)

Separăm integrala și scoatem constantele

\( \displaystyle \int \frac{1}{2}x^3\,dx=\frac{1}{2}\cdot\frac{x^4}{4}=\frac{x^4}{8} \)

\( \displaystyle \int (-7)\,dx=-7x \)

Rezultatul este \( \displaystyle \frac{x^4}{8}-7x+C \)

Recunoaștem derivata funcției sinus

\( \displaystyle (\sin x)'=\cos x \)

Deci o primitivă este \( \displaystyle \sin x \) iar familia tuturor primitivelor este \( \displaystyle \sin x+C \)

Funcția \( \displaystyle \frac{1}{x} \) este definită pentru \( \displaystyle x\neq 0 \)

\( \displaystyle (\ln|x|)'=\frac{1}{x} \) pentru \( \displaystyle x\neq 0 \)

Deci o primitivă este \( \displaystyle \ln|x| \) pe orice interval care nu conține 0 iar familia este \( \displaystyle \ln|x|+C \)

Din \( \displaystyle F(0)=3 \) obținem \( \displaystyle 0^2+C=3 \)

Rezultă \( \displaystyle C=3 \)

Cuprins

Explicație
Exerciții