Dacă rotim în jurul axei \( \displaystyle Ox \) domeniul mărginit de graficul \( \displaystyle y=f(x)\ge 0 \), axa \( \displaystyle Ox \) și dreptele \( \displaystyle x=a \), \( \displaystyle x=b \),
obţinem un corp de rotaţie. Volumul lui se calculează cu metoda discurilor.
Formula (rotaţie în jurul lui \( \displaystyle Ox \))
\( \displaystyle V=\pi\int_a^b \big(f(x)\big)^2\,dx \)
Se aplică atunci când secţiunile perpendiculare pe \( \displaystyle Ox \) sunt discuri de rază \( \displaystyle f(x) \)
Diferenţă de două grafice
Dacă domeniul e între \( \displaystyle y=f(x) \) și \( \displaystyle y=g(x) \), cu \( \displaystyle f\ge g\ge 0 \)
\( \displaystyle V=\pi\int_a^b \big(f(x)^2-g(x)^2\big)\,dx \)
Exemplu rezolvat
Rotim în jurul axei \( \displaystyle Ox \) domeniul de sub \( \displaystyle y=x \) pe \([0,1]\)
\( \displaystyle V=\pi\int_0^1 x^2\,dx=\pi\left.\frac{x^3}{3}\right|_0^1=\frac{\pi}{3} \)
Rezultatul corespunde volumului unui con de rază \( \displaystyle 1 \) şi înălţime \( \displaystyle 1 \)
Observaţie practică: înainte de calcul verifică mereu că funcţia este \(\displaystyle \ge 0\) pe intervalul dat (pentru interpretarea geometrică)
Exerciții
1
Calculează volumul obţinut prin rotaţia în jurul lui \( \displaystyle Ox \) a lui \( \displaystyle y=2 \) pe \([0,3]\)
Răspuns: \( \displaystyle 12\pi \)
2
Calculează volumul obţinut prin rotaţia în jurul lui \( \displaystyle Ox \) a lui \( \displaystyle y=x^2 \) pe \([0,1]\)
Răspuns: \( \displaystyle \frac{\pi}{5} \)
3
Calculează volumul corpului dintre \( \displaystyle y=2 \) și \( \displaystyle y=1 \) pe \([0,4]\) rotit în jurul lui \( \displaystyle Ox \)
Răspuns: \( \displaystyle 12\pi \)
4
Calculează volumul obţinut prin rotaţia în jurul lui \( \displaystyle Ox \) a lui \( \displaystyle y=\sqrt{x} \) pe \([0,4]\)
Răspuns: \( \displaystyle 8\pi \)
5
Calculează volumul obţinut prin rotaţia în jurul lui \( \displaystyle Ox \) a lui \( \displaystyle y=x \) pe \([0,2]\)
Răspuns: \( \displaystyle \frac{8\pi}{3} \)
Răspunsuri
1
\( \displaystyle 12\pi \)
2
\( \displaystyle \frac{\pi}{5} \)
3
\( \displaystyle 12\pi \)
4
\( \displaystyle 8\pi \)
5
\( \displaystyle \frac{8\pi}{3} \)
Rezolvări
1
\( \displaystyle V=\pi\int_0^3 2^2\,dx=\pi\int_0^3 4\,dx=4\pi\cdot 3=12\pi \)
2
\( \displaystyle V=\pi\int_0^1 (x^2)^2\,dx=\pi\int_0^1 x^4\,dx=\pi\left.\frac{x^5}{5}\right|_0^1=\frac{\pi}{5} \)
3
\( \displaystyle V=\pi\int_0^4 (2^2-1^2)\,dx=\pi\int_0^4 3\,dx=3\pi\cdot 4=12\pi \)
4
\( \displaystyle V=\pi\int_0^4 (\sqrt{x})^2\,dx=\pi\int_0^4 x\,dx=\pi\left.\frac{x^2}{2}\right|_0^4=\pi\cdot 8=8\pi \)
5
\( \displaystyle V=\pi\int_0^2 x^2\,dx=\pi\left.\frac{x^3}{3}\right|_0^2=\pi\cdot\frac{8}{3}=\frac{8\pi}{3} \)