A04 - Ridicarea la putere cu exponentul număr natural a unui număr rațional

Ideea lecției

Puterea exprimă o înmulțire repetată și permite scrierea compactă a produselor. Sunt esențiale regulile de calcul cu puteri care au aceeași bază și comportamentul semnului la baze negative.

Definiții și noțiuni-cheie

  • Pentru \(n\in\mathbb N^*\), \(a^n=\underbrace{a\cdot a\cdots a}_{n\text{ factori}}\).
  • Pentru \(a\ne0\), \(a^0=1\).
  • La o bază negativă, exponentul par dă rezultat pozitiv, iar exponentul impar păstrează semnul negativ.

Reguli și proprietăți

  • \(a^m\cdot a^n=a^{m+n}\), \(a^m:a^n=a^{m-n}\) pentru exponenți compatibili și \(a\ne0\).
  • \((a^m)^n=a^{mn}\), \((ab)^n=a^nb^n\).
  • \(\left(\frac ab\right)^n=\frac{a^n}{b^n}\) pentru \(b\ne0\).

Exemplu rezolvat

Pasul 1. Calculăm \(\left(-\frac23\right)^3\).

Pasul 2. Exponentul este impar, deci rezultatul este negativ.

Pasul 3. Ridicăm numărătorul și numitorul la puterea a treia: \(-\frac{8}{27}\).

Concluzie: \(-\frac8{27}\)

Atenție

Parantezele schimbă sensul: \((-2)^4=16\), dar \(-2^4=-16\) deoarece puterea se aplică lui 2 înaintea semnului minus.

Verificare rapidă

Simplifică \(5^2\cdot5^3\).

Răspuns: \(5^5\).

Exerciții

1
Calculează \(\left(-\frac32\right)^2\).
2
Calculează \((-2)^5\).
3
Simplifică \(3^4\cdot3^2\).

\(\displaystyle a^m a^n=a^{m+n}\)

4
Simplifică \(5^7:5^3\).
5
Simplifică \((2^3)^4\).
6
Scrie ca o singură putere \(7^2\cdot7^5:7^3\).
7
Compară \((-3)^4\) și \(-3^4\).
8
Calculează \(\left(\frac25\right)^3\).
9
Dacă \(2^n=32\), află n.
10
O sumă de 100 lei crește de două ori la fiecare etapă. Cât este după 4 dublări?

\(\displaystyle a\cdot q^n\)

Înapoi Următor