Ideea lecției
Mulțimea numerelor reale reunește numerele raționale și iraționale și este reprezentată complet pe axa numerelor. Lecția dezvoltă limbajul intervalelor, modulului și ordonării pe \(\mathbb R\).
Definiții și noțiuni-cheie
- \(\mathbb R=\mathbb Q\cup(\mathbb R\setminus\mathbb Q)\); numerele reale sunt raționale sau iraționale.
- Fiecărui număr real îi corespunde un unic punct pe axa numerelor și reciproc.
- Intervalele descriu compact mulțimi de numere situate între anumite capete.
Reguli și proprietăți
- Paranteza pătrată include capătul, paranteza rotundă îl exclude.
- Inegalitatea \(a\le x
- Condiția \(|x|0\) înseamnă \(-r
Exemplu rezolvat
Pasul 1. Scriem mulțimea soluțiilor lui \(-2\le x<5\).
Pasul 2. Capătul -2 este inclus, iar 5 este exclus.
Pasul 3. Rezultă intervalul \([-2,5)\).
Concluzie: \([-2,5)\)
Atenție
Infinitul nu este număr real și nu se include niciodată ca extremitate; lângă \(\pm\infty\) se folosește mereu paranteză rotundă.
Verificare rapidă
Scrie ca interval \(x>3\).
Răspuns: \((3,+\infty)\).
Exerciții
1
Precizează cea mai mică mulțime dintre \(\mathbb N,\mathbb Z,\mathbb Q,\mathbb R\) care conține \(-4\).
2
Precizează dacă \(\sqrt5\) aparține lui \(\mathbb R\).
3
Scrie ca interval condiția \(-3\le x<2\).
4
Scrie prin inegalități intervalul \((1,7]\).
7
Află intersecția \([-2,5]\cap(1,8)\).
8
Află reuniunea \((-\infty,3)\cup[3,7]\).
9
Ordonează \(\sqrt2,\ 1{,}4,\ \frac32\).
10
Distanța de la x la 3 este mai mică decât 2. Scrie condiția ca interval.