G18 - Proprietăți ale triunghiului dreptunghic

Ideea lecției

Manualul evidențiază două rezultate esențiale: mediana dusă la ipotenuză și proprietatea unghiului de \(30^\circ\). Acestea permit calcule fără teorema lui Pitagora.

Definiții și noțiuni-cheie

  • Într-un triunghi dreptunghic, mediana corespunzătoare ipotenuzei are lungimea egală cu jumătate din ipotenuză.
  • Dacă un unghi ascuțit măsoară \(30^\circ\), cateta opusă lui este jumătate din ipotenuză.
  • Mijlocul ipotenuzei este egal depărtat de cele trei vârfuri.

Reguli și proprietăți

  • Dacă M este mijlocul ipotenuzei AC, atunci \(MA=MB=MC=\frac12AC\).
  • Într-un triunghi dreptunghic cu un unghi de 30°, raportul dintre cateta opusă și ipotenuză este \(\frac12\).
  • Reciprocele unor proprietăți pot servi la recunoașterea unui triunghi dreptunghic.

Exemplu rezolvat

Pasul 1. Într-un triunghi dreptunghic, ipotenuza are 14 cm.

Pasul 2. Mediana la ipotenuză are jumătate din această lungime.

Pasul 3. Deci \(m=7\text{ cm}\).

Concluzie: \(7\text{ cm}\)

Atenție

Identifică mai întâi ipotenuza: ea este latura opusă unghiului drept și cea mai lungă latură.

Verificare rapidă

Ipotenuza este 20 cm. Cât măsoară mediana la ipotenuză?

Răspuns: \(10\text{ cm}\).

Exerciții

1
Într-un triunghi dreptunghic, ipotenuza are 18 cm. Află mediana la ipotenuză.

\(\displaystyle m_c=\frac c2\)

2
Mediana la ipotenuză are 7 cm. Află ipotenuza.
3
Un triunghi dreptunghic are un unghi ascuțit de \(30^\circ\) și ipotenuza 20 cm. Află cateta opusă unghiului de 30°.

\(\displaystyle a_{30^\circ}=\frac c2\)

4
Cateta opusă unghiului de 30° are 6 cm. Află ipotenuza.
5
Într-un triunghi dreptunghic ABC cu ipotenuza AC, M este mijlocul lui AC. Ce relație există între MA, MB și MC?
6
Dacă \(AC=16\) cm în situația anterioară, află MB.
7
Un triunghi dreptunghic are unghiurile acute în raport 1:2. Află-le.
8
Într-un triunghi dreptunghic cu un unghi de \(30^\circ\), cateta opusă are 9 cm. Află mediana la ipotenuză.
9
Dacă într-un triunghi mediana la o latură este egală cu jumătate din acea latură, ce sugerează reciproca teoremei?
10
Ipotenuza unui triunghi dreptunghic este diametrul unui cerc de rază 5 cm. Află mediana la ipotenuză.
Înapoi Următor