Ideea lecției
Într-un triunghi isoscel, simetria față de axa care trece prin vârful principal produce relații puternice între unghiuri și linii importante.
Definiții și noțiuni-cheie
- Unghiurile alăturate bazei unui triunghi isoscel sunt congruente.
- Mediana, bisectoarea și înălțimea construite din vârful opus bazei coincid.
- Dacă două unghiuri ale unui triunghi sunt congruente, atunci triunghiul este isoscel.
Reguli și proprietăți
- Liniile importante construite din vârfurile de la bază au perechi congruente: mediane, bisectoare și înălțimi.
- Pentru \(AB=AC\), baza este BC și \(\angle B=\angle C\).
- În probleme, combină suma unghiurilor triunghiului cu egalitatea unghiurilor de la bază.
Exemplu rezolvat
Pasul 1. Într-un triunghi isoscel cu \(AB=AC\), unghiul A este \(40^\circ\).
Pasul 2. Unghiurile B și C sunt egale.
Pasul 3. Fiecare este \(\frac{180^\circ-40^\circ}{2}=70^\circ\).
Concluzie: \(\angle B=\angle C=70^\circ\)
Atenție
Nu presupune baza după desen; baza este latura opusă vârfului la care se întâlnesc laturile congruente.
Verificare rapidă
Într-un triunghi isoscel, unghiul la vârf este 60°. Cât au unghiurile de la bază?
Răspuns: \(60^\circ\) fiecare.
Exerciții
1
În triunghiul isoscel ABC, \(AB=AC\) și \(\angle A=40^\circ\). Află B și C.
2
Într-un triunghi isoscel, un unghi de la bază este \(52^\circ\). Află unghiul la vârf.
3
În ABC isoscel cu \(AB=AC\), D este mijlocul bazei BC. Ce poți spune despre AD?
4
În aceeași configurație, dacă \(BC=14\) cm, află BD și DC.
5
Un triunghi are două unghiuri de \(65^\circ\). Ce tip este și cât are al treilea unghi?
6
Perimetrul unui triunghi isoscel este 30 cm, iar baza are 10 cm. Află laturile egale.
7
Perimetrul unui triunghi isoscel este 32 cm, iar fiecare latură egală are 11 cm. Află baza.
8
Într-un triunghi isoscel, bisectoarea din vârful principal are 8 cm. Ce poți afirma despre înălțimea din același vârf?
9
Dacă o mediană și o înălțime din același vârf al unui triunghi coincid, ce poți concluziona?
10
Într-un triunghi isoscel cu baza BC, \(\angle B=3x+5^\circ\) și \(\angle C=5x-15^\circ\). Află x.