Ideea lecției
Linia mijlocie unește mijloacele a două laturi ale triunghiului. Proprietatea ei leagă imediat paralelismul și lungimile și este utilă în multe probleme de calcul și demonstrație.
Definiții și noțiuni-cheie
- Segmentul care unește mijloacele a două laturi ale unui triunghi se numește linie mijlocie.
- Linia mijlocie este paralelă cu a treia latură.
- Lungimea liniei mijlocii este jumătate din lungimea laturii paralele.
Reguli și proprietăți
- Dacă M și N sunt mijloacele lui AB și AC, atunci \(MN\parallel BC\) și \(MN=\frac12BC\).
- Recunoașterea mijloacelor cere egalitatea celor două segmente de pe aceeași latură.
- Proprietatea poate fi folosită invers în situații adecvate pentru a identifica mijloace.
Exemplu rezolvat
Pasul 1. În \(\triangle ABC\), M și N sunt mijloacele lui AB și AC, iar \(BC=14\text{ cm}\).
Pasul 2. MN este linie mijlocie.
Pasul 3. Prin teoremă, \(MN=\frac12\cdot14=7\text{ cm}\).
Concluzie: \(7\text{ cm}\)
Atenție
Nu orice segment paralel cu o latură este automat linie mijlocie; capetele lui trebuie să fie mijloacele celorlalte două laturi.
Verificare rapidă
Dacă linia mijlocie are 6 cm, cât are latura paralelă?
Răspuns: \(12\text{ cm}\).
Exerciții
1
În triunghiul ABC, M și N sunt mijloacele lui AB și AC. Dacă \(BC=16\) cm, află MN.
2
În aceeași configurație, dacă \(MN=6\) cm, află BC.
3
Ce relație de paralelism există între MN și BC?
4
Dacă \(AM=MB=5\) cm și \(AN=NC=7\) cm, ce tip de segment este MN?
5
Perimetrul triunghiului ABC este 30 cm, iar M,N,P sunt mijloacele laturilor. Care este perimetrul triunghiului MNP?
6
În triunghiul ABC, M și N sunt mijloacele lui AB și AC, iar \(MN=4x+1\) și \(BC=18\) cm. Află x.
7
Dacă \(BC=22\) cm, cât este linia mijlocie paralelă cu BC?
8
Un segment interior unui triunghi este paralel cu baza, dar un capăt nu este mijlocul laturii. Poți spune imediat că este linie mijlocie?
9
M este mijlocul lui AB și prin M se duce paralela la BC, care intersectează AC în N. Ce poți spune despre N?
10
Într-un triunghi cu laturile 10, 14, 18 cm, care sunt lungimile laturilor triunghiului format de cele trei linii mijlocii?