Ideea lecției
Paralelismul este legat de unghiurile formate de o secantă cu două drepte. Criteriile și proprietățile permit atât demonstrarea paralelismului, cât și calculul unghiurilor când paralelismul este cunoscut.
Definiții și noțiuni-cheie
- Două drepte coplanare distincte fără punct comun sunt paralele.
- Dacă o secantă taie două drepte paralele, unghiurile alterne interne sunt congruente, unghiurile corespondente sunt congruente, iar unghiurile interne de aceeași parte sunt suplementare.
- Reciprocele acestor proprietăți oferă criterii de paralelism.
Reguli și proprietăți
- Pentru a demonstra \(a\parallel b\), este suficient să verifici una dintre relațiile unghiulare specifice.
- Unghiurile adiacente pe o dreaptă au suma \(180^\circ\).
- Trasează atent secanta și identifică perechea de unghiuri înainte de calcul.
Exemplu rezolvat
Pasul 1. O secantă formează cu două drepte unghiuri alterne interne de \(65^\circ\) și \(65^\circ\).
Pasul 2. Unghiurile alterne interne sunt congruente.
Pasul 3. Prin criteriul de paralelism, dreptele sunt paralele.
Concluzie: Dreptele sunt paralele.
Atenție
Nu numi două unghiuri „alterne interne” doar pentru că sunt egale; poziția lor față de secantă și de cele două drepte este esențială.
Verificare rapidă
Dacă două unghiuri corespondente sunt egale, ce concluzie poți trage?
Răspuns: Cele două drepte sunt paralele.
Exerciții
1
Două unghiuri alterne interne formate de o secantă cu dreptele a și b sunt ambele de \(64^\circ\). Ce concluzie ai?
2
Dacă \(a\parallel b\) și un unghi corespondent are \(72^\circ\), cât are corespondentul său?
3
Dacă \(a\parallel b\) și două unghiuri interne de aceeași parte a secantei au unul \(115^\circ\), află-l pe celălalt.
4
Două unghiuri corespondente sunt 3x și \(75^\circ\), iar dreptele sunt paralele. Află x.
5
Unghiurile interne de aceeași parte sunt x și 2x, iar dreptele sunt paralele. Află x.
6
Dacă unghiurile alterne interne măsoară \(50^\circ\) și \(130^\circ\), poți concluziona că dreptele sunt paralele pe baza acestor unghiuri?
7
Dacă \(a\parallel b\) și o secantă formează un unghi ascuțit de \(38^\circ\), ce măsură au toate unghiurile ascuțite formate?
8
În aceeași situație, cât măsoară unghiurile obtuze?
9
Dreptele a și b sunt perpendiculare pe aceeași dreaptă c. Demonstrează relația lor.
10
Prin punctul P exterior dreptei d se duce dreapta p paralelă cu d. Câte astfel de drepte există în geometria euclidiană?