Ideea lecției
Bisectoarea unui unghi poate fi caracterizată prin distanțele până la laturile unghiului. Această proprietate și reciproca ei sunt instrumente importante în construcții și în studiul triunghiului.
Definiții și noțiuni-cheie
- Orice punct al bisectoarei unui unghi este egal depărtat de laturile unghiului.
- Reciproc, un punct situat între laturile unghiului și egal depărtat de ele aparține bisectoarei.
- Distanța de la punct la o latură se măsoară pe perpendiculară.
Reguli și proprietăți
- Pentru a demonstra că un punct este pe bisectoare, arată egalitatea celor două distanțe perpendiculare la laturi.
- Bisectoarele unghiurilor unui triunghi sunt concurente într-un punct egal depărtat de cele trei laturi.
- Construcția cu riglă și compas folosește arce egale din laturile unghiului.
Exemplu rezolvat
Pasul 1. M aparține bisectoarei unghiului A, iar \(MM_1\) și \(MM_2\) sunt distanțele la laturi.
Pasul 2. Prin teorema bisectoarei, \(MM_1=MM_2\).
Pasul 3. Dacă una dintre distanțe este 3 cm, cealaltă este 3 cm.
Concluzie: \(3\text{ cm}\)
Atenție
Distanța la laturile unghiului înseamnă lungimea segmentelor perpendiculare, nu orice segmente trase până la laturi.
Verificare rapidă
Un punct interior este la 5 cm de fiecare latură a unui unghi. Ce poți spune?
Răspuns: Punctul aparține bisectoarei unghiului.
Exerciții
1
M aparține bisectoarei unghiului A. Distanțele la cele două laturi sunt 4 cm și x cm. Află x.
2
Un punct P din interiorul unui unghi este la aceeași distanță de ambele laturi. Unde se află P?
3
Unghiul A are \(70^\circ\), iar AM este bisectoare. Cât măsoară fiecare unghi format?
4
P este pe bisectoare, iar distanța sa la o latură este 6,5 cm. Care este distanța la cealaltă?
5
Într-un triunghi, bisectoarele unghiurilor A și B se intersectează în I. Ce poți spune despre distanțele lui I la cele trei laturi?
6
Cum se numește punctul de intersecție al bisectoarelor unui triunghi?
7
Punctul P este între laturile unui unghi, cu distanțele 3 cm și 5 cm la ele. Poate P aparține bisectoarei?
8
Pentru a măsura distanța de la punctul P la o latură a unghiului, ce segment trebuie construit?
9
Un punct P este egal depărtat de laturile unui unghi, iar unghiul are 96°. Dacă OP este bisectoarea, cât măsoară fiecare parte?
10
De ce bisectoarea unui unghi poate fi privită ca loc geometric?