Ideea lecției
Rapoartele algebrice se pot amplifica sau simplifica prin același factor nenul, asemănător fracțiilor numerice. Factorizarea este instrumentul principal pentru găsirea factorilor comuni.
Definiții și noțiuni-cheie
- Amplificarea cu \(C\ne0\) transformă \(\frac AB\) în \(\frac{AC}{BC}\).
- Simplificarea elimină un factor comun nenul din numărător și numitor.
- DVA se păstrează din raportul inițial, chiar dacă un factor se simplifică.
Reguli și proprietăți
- Factorizează complet numărătorul și numitorul înainte de simplificare.
- Se simplifică factori, nu termeni din sume sau diferențe.
- Notează explicit valorile excluse înainte de a reduce factorii.
Exemplu rezolvat
Pasul 1. Simplificăm \(\frac{x^2-9}{x-3}\).
Pasul 2. DVA: \(x\ne3\). Factorizăm \(x^2-9=(x-3)(x+3)\).
Pasul 3. Pentru \(x\ne3\), se simplifică factorul \(x-3\) și obținem \(x+3\).
Concluzie: \(x+3,\quad x\ne3\)
Atenție
Nu „tai” termenii din \(\frac{x+3}{x}\). Simplificarea este permisă numai pentru factori comuni ai întregului numărător și numitor.
Verificare rapidă
Simplifică \(\frac{2x}{6x}\) pentru \(x\ne0\).
Răspuns: \(\frac13\).
Exerciții
1
Simplifică \(\frac{6x}{9x}\) pentru \(x\ne0\).
2
Simplifică \(\frac{x^2-4}{x-2}\), cu DVA.
3
Simplifică \(\frac{x^2+3x}{x}\), cu DVA.
4
Amplifică \(\frac{x}{x+1}\) cu factorul \(x-2\).
5
Simplifică \(\frac{3x^2-12}{3x-6}\).
6
Simplifică \(\frac{x^2-1}{x^2+2x+1}\).
7
Este corectă simplificarea \(\frac{x+2}{x}=2\)?
8
Simplifică \(\frac{4a^2b}{6ab^2}\) pentru \(a,b\ne0\).
9
Simplifică \(\frac{(x-3)^2}{x-3}\), cu DVA.
10
Compară domeniul raportului \(\frac{x^2-4}{x-2}\) cu al expresiei \(x+2\).