Ideea lecției
Lecția formalizează ecuația cu o necunoscută, membrii ei, soluțiile și transformările echivalente în mulțimea numerelor reale.
Definiții și noțiuni-cheie
- O ecuație are forma \(A(x)=B(x)\), unde necunoscuta apare în cel puțin unul dintre membri.
- Mulțimea soluțiilor conține toate valorile admisibile pentru care egalitatea este adevărată.
- Ecuațiile echivalente au aceeași mulțime de soluții.
Reguli și proprietăți
- Adunarea aceleiași expresii la ambii membri păstrează echivalența.
- Înmulțirea ambilor membri cu același număr nenul păstrează echivalența.
- O ecuație poate avea o soluție, mai multe, niciuna sau toate valorile admisibile.
Exemplu rezolvat
Pasul 1. Rezolvăm \(3(x-1)=3x-3\).
Pasul 2. Desfacem paranteza: membrul stâng devine \(3x-3\).
Pasul 3. Obținem o identitate, deci orice număr real verifică egalitatea.
Concluzie: \(S=\mathbb R\)
Atenție
Nu concluziona \(x=0\) dintr-o identitate de forma \(0=0\); aceasta indică faptul că toate valorile admisibile sunt soluții.
Verificare rapidă
Ecuația \(x+2=x+5\) are soluții?
Răspuns: Nu; conduce la contradicția \(2=5\).
Exerciții
1
Este \(x=3\) soluție a ecuației \(2x+1=7\)?
4
Sunt echivalente ecuațiile \(x=5\) și \(2x=10\)?
5
Sunt echivalente \(x^2=1\) și \(x=1\)?
6
Transformă echivalent \(3x-5=10\) prin adăugarea lui 5 la ambii membri.
7
De ce nu este permis să înmulțim ambii membri ai unei ecuații cu 0 pentru a păstra echivalența?
8
Rezolvă \(5(x-2)=5x-10\).
10
Dacă două ecuații sunt echivalente și prima are soluția unică -2, ce soluții are a doua?