Ideea lecției
Operațiile cu rapoarte algebrice urmează regulile fracțiilor: numitor comun la adunare, produs direct la înmulțire, inversare la împărțire și ridicarea separat a numărătorului și numitorului la putere.
Definiții și noțiuni-cheie
- \(\frac AB+\frac CB=\frac{A+C}{B}\) pentru \(B\ne0\).
- \(\frac AB\cdot\frac CD=\frac{AC}{BD}\) și \(\frac AB:\frac CD=\frac AB\cdot\frac DC\) cu toate restricțiile necesare.
- \(\left(\frac AB\right)^n=\frac{A^n}{B^n}\) pentru \(B\ne0\).
Reguli și proprietăți
- Stabilește DVA pentru toate rapoartele din expresia inițială.
- La adunare/scădere, adu rapoartele la un numitor comun.
- Simplifică factori înainte sau după înmulțire pentru a reduce calculele.
Exemplu rezolvat
Pasul 1. Calculăm \(\frac1x+\frac2x\) pentru \(x\ne0\).
Pasul 2. Numitorii sunt egali, deci adunăm numărătorii.
Pasul 3. Obținem \(\frac3x\).
Concluzie: \(\frac3x,\ x\ne0\)
Atenție
La împărțirea la un raport, acel raport trebuie să fie definit și nenul; apar restricții atât din numitorul său, cât și din numărătorul său.
Verificare rapidă
Calculează \(\frac{x}{2}\cdot\frac{4}{x}\) pentru \(x\ne0\).
Răspuns: \(2\).
Exerciții
1
Calculează \(\frac{2}{x}+\frac{5}{x}\), \(x\ne0\).
2
Calculează \(\frac{3}{x}-\frac{1}{x}\), \(x\ne0\).
3
Calculează \(\frac1x+\frac1y\) pentru \(x,y\ne0\).
4
Calculează \(\frac{x}{3}\cdot\frac{9}{x}\), \(x\ne0\).
5
Calculează \(\frac{x}{2}:\frac{x}{6}\), \(x\ne0\).
6
Ridică la pătrat \(\frac{2x}{3y}\), \(y\ne0\).
7
Simplifică \(\frac{x}{x+1}+\frac1{x+1}\).
8
Calculează \(\frac{2}{x}\cdot\frac{x^2}{4}\), \(x\ne0\).
9
Simplifică \(\left(\frac{x-1}{x+1}\right)^2\).
10
Calculează \(\frac1{x-1}-\frac1{x+1}\).