Ideea lecției
Geometria este construită prin propoziții bine formulate și demonstrații. Lecția separă axiomele de teoreme și explică structura ipoteză-concluzie, reciproca și ideea de demonstrație prin reducere la absurd.
Definiții și noțiuni-cheie
- O axiomă este o propoziție matematică adevărată admisă fără demonstrație.
- O teoremă este o propoziție al cărei adevăr se demonstrează.
- În forma „Dacă I, atunci C”, I este ipoteza, iar C este concluzia.
Reguli și proprietăți
- Reciproca unei teoreme schimbă rolurile ipotezei și concluziei; ea nu este automat adevărată.
- O demonstrație folosește axiome, definiții, teoreme deja cunoscute și deducții corecte.
- Pentru a arăta că o propoziție universală este falsă este suficient un contraexemplu.
Exemplu rezolvat
Pasul 1. Propoziția „Dacă un număr este multiplu de 4, atunci este par” are ipoteza „multiplu de 4”.
Pasul 2. Concluzia este „numărul este par”.
Pasul 3. Justificare: \(4k=2(2k)\), deci este divizibil cu 2.
Concluzie: Propoziția este adevărată.
Atenție
Nu presupune că reciproca unei teoreme este adevărată. Ea trebuie demonstrată separat sau infirmată prin contraexemplu.
Verificare rapidă
Care este concluzia în „Dacă două drepte sunt perpendiculare, atunci sunt concurente”?
Răspuns: Dreptele sunt concurente.
Exerciții
1
În propoziția „Dacă un triunghi este echilateral, atunci are toate laturile congruente”, identifică ipoteza.
2
În aceeași propoziție, identifică concluzia.
5
Reciproca propoziției „Dacă un număr este multiplu de 4, atunci este par” este adevărată?
6
Dă un contraexemplu pentru afirmația „Toate numerele prime sunt impare”.
7
Poate o demonstrație corectă să folosească drept premisă exact concluzia care trebuie demonstrată?
8
În metoda reducerii la absurd, ce presupui inițial?
9
Afirmația „Dacă două unghiuri sunt drepte, atunci sunt congruente” este adevărată?
10
Reciproca afirmației anterioare este adevărată?