Ideea lecției
Această lecție combină formulele de calcul prescurtat cu desfacerea parantezelor, factorizarea și reducerea termenilor asemenea pentru a simplifica expresii mai lungi.
Definiții și noțiuni-cheie
- O expresie poate fi simplificată prin dezvoltarea pătratelor, folosirea diferenței de pătrate și reducerea termenilor asemenea.
- Alegerea sensului potrivit - dezvoltare sau factorizare - poate scurta mult calculul.
- Egalitățile obținute trebuie să fie identități pe domeniul lor de definiție.
Reguli și proprietăți
- Înainte de calcule, caută structuri precum \((a\pm b)^2\) sau \(a^2-b^2\).
- Grupează termenii după dezvoltare și redu doar termenii asemenea.
- Pentru o verificare rapidă, poți substitui o valoare simplă a variabilei în expresia inițială și în cea simplificată.
Exemplu rezolvat
Pasul 1. Simplificăm \((x+2)^2-(x^2+4x)\).
Pasul 2. Dezvoltăm: \(x^2+4x+4-x^2-4x\).
Pasul 3. Termenii cu x se reduc și rămâne 4.
Concluzie: \(4\)
Atenție
Nu aplica mecanic formulele: uneori factorizarea înaintea dezvoltării reduce numărul de pași și riscul de eroare.
Verificare rapidă
Simplifică \((a-1)^2-a^2+2a\).
Răspuns: \(1\).
Exerciții
1
Simplifică \((x+2)^2-x^2\).
2
Simplifică \((a-3)^2-a^2+6a\).
3
Simplifică \((x+1)^2-(x-1)^2\).
4
Calculează \(103^2-97^2\) fără a calcula separat pătratele.
5
Simplifică \((2x+3)^2-(4x^2+12x)\).
6
Factorizează și simplifică \(\frac{x^2-16}{x-4}\) pentru \(x\ne4\).
7
Rezolvă \((x-2)^2=x^2-4\).
8
Demonstrează că \((a+b)^2+(a-b)^2=2a^2+2b^2\).
9
Simplifică \((3x-1)^2-(3x+1)(3x-1)\).
10
Calculează \(49\cdot51\) folosind diferența de pătrate.