Ideea lecției
Mulțimile permit organizarea obiectelor după proprietăți. Lecția introduce reuniunea, intersecția, diferența și folosirea diagramelor sau intervalelor pentru a descrie rezultatele.
Definiții și noțiuni-cheie
- Reuniunea \(A\cup B\) conține elementele care aparțin lui A sau lui B.
- Intersecția \(A\cap B\) conține elementele comune celor două mulțimi.
- Diferența \(A\setminus B\) conține elementele lui A care nu aparțin lui B.
Reguli și proprietăți
- Reuniunea și intersecția sunt comutative și asociative.
- \(A\cap(B\cup C)=(A\cap B)\cup(A\cap C)\) și analog pentru distributivitatea reuniunii.
- Pentru intervale, verifică separat capetele și porțiunile care se suprapun.
Exemplu rezolvat
Pasul 1. Fie \(A=[-1,4]\) și \(B=(2,6)\).
Pasul 2. Partea comună începe după 2 și se termină la 4, care aparține ambelor mulțimi.
Pasul 3. Deci \(A\cap B=(2,4]\).
Concluzie: \(A\cap B=(2,4]\)
Atenție
Simbolul \(\in\) leagă un element de o mulțime, iar \(\subset\) compară două mulțimi; nu sunt interschimbabile.
Verificare rapidă
Dacă \(A=\{1,2,3\}\) și \(B=\{3,4\}\), află \(A\cap B\).
Răspuns: \(\{3\}\).
Exerciții
1
Fie \(A=\{1,2,3\}, B=\{3,4,5\}\). Află \(A\cup B\).
2
Pentru aceleași mulțimi, află \(A\cap B\).
3
Fie \(A=\{1,2,3,4\},B=\{2,4\}\). Află \(A\setminus B\).
5
Află \((-2,1)\cup[1,4)\).
6
Dacă \(A\subset B\) și \(x\in A\), ce poți afirma despre x?
7
Fie \(A=\{a,b\}\) și \(B=\{1,2,3\}\). Câte elemente are produsul cartezian \(A\times B\)?
8
Scrie \(A\times B\) pentru \(A=\{1,2\},B=\{x,y\}\).
9
Este adevărat că \(A\cap B=B\cap A\)?
10
Dacă \(A=[-1,2], B=(0,4)\), află \(A\setminus B\).